2022　香川大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{BQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}\text{，}$直線$\mathrm{AR}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\mathrm{▵RBS}$の面積の何倍かを答えよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を，

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{-3a_n+2}{a_n-2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{-3}{a_n-1}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$で表せ．

(2)　$b_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$b_n>{\displaystyle \frac{2021}{2022}}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-6x^2$に対し，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$C$上の点$(p,f(p))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(3)　点$(4,k)$から曲線$C$上の異なる$3$点それぞれに接線が引けるとする．このときの定数$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　曲線$y=-x^2+2x$を$C$とし，$C$上の点$(0,0)$における接線を$l$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と接線$l\text{，}$および直線$x=1$で囲まれてできる図形$D$を座標平面上に図示し，その面積$S$を求めよ．

(3)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V_1$を求めよ．

(4)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V_2$を求めよ．

【３】　$a$を実数の定数とする．関数$f(x)=x^2-ax+a$について，次の問に答えよ．

(1)　放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　放物線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　不等式$f(x)>0$を解け．

【２】　座標平面上において，中心$(1,1)\text{，}$半径$1$の円$C$の周上の点$\mathrm{P}$の座標を$(1+\cos \theta ,1+\sin \theta )$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，点$\mathrm{P}$における円$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}$$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さ$L(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$L(\theta )$の最小値を求めよ．

【３】　$a>0$に対し，

$f(x)=a{x}^2+{\displaystyle \frac{2}{a}}\text{，}$$g(x)=a^2{x}^2+{\displaystyle \frac{2}{a}}$

とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　実数$a$が$a>0$の範囲を動くとき，曲線$y=f(x)$が通りうる範囲を座標平面に図示せよ．

(2)　実数$a$が$a>0$の範囲を動くとき，曲線$y=g(x)$が通りうる範囲を座標平面に図示せよ．

【４】　関数$f(x)=x\log x$について，次の問に答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$a>1$に対し，$I(a)={\displaystyle {\int }_1^a}\{5f(x)-a{f}^{\prime }(x)\}\mathit{dx}$とおく．このとき，$I(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a>1$における$I(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．