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2022-10801-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF)へ
2022 愛媛大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) t を実数とする.原点を中心とする半径 1 の円と, 2 点 A (-1 ,0) , B (0, t) を通る直線との 2 つの交点のうち, A でない交点を C とする. C の座標を t を用いて表せ.
2022-10801-0102
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF13行)へ
(2) 2 次方程式 x 2-3⁢ x+4= 0 の 2 つの解を α , β とするとき, α3 +β3 の値を求めよ.
2022-10801-0103
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF16行)へ
(3) m2- m⁢n-2 ⁢n2= 22 を満たす自然数の組 ( m,n ) をすべて求めよ.
2022-10801-0104
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁)へ
(4) 赤玉 4 個,白玉 3 個,黒玉 2 個が入っている袋から, 3 個の玉を同時に取り出すとき,取り出した玉の色がすべて異なる確率を求めよ.
2022-10801-0105
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁2行)へ
(5) 次の和を求めよ.
∑ n=1 ∞ 1n+2 +n
2022-10801-0106
【2】 以下の問いに答えよ.
(1) n を自然数とするとき,
12+ 32+ 52+ ⋯+ (2⁢ n-1) 2 =C3 2 ⁢n+1
が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.
2022-10801-0107
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁18行)へ
(2) θ が π3≦ θ<π を満たすとき,
0< cos⁡θ +1sin ⁡ θ2 +1 ≦1
が成り立つことを証明せよ.
2022-10801-0108
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF7頁)へ
【5】(3)と同一問題
(3) 関数 y= |x- 1|- 2⁢| x+1 | ( -4≦x ≦2 ) の最大値,最小値を求めよ.
2022-10801-0109
【3】 n を自然数とし, p を正の実数とする.放物線
C:y =-x2 +4
上に点 P (p, -p2+ 4) , Q (-p ,-p2 +4) がある. C 上の点 P における接線を l 1 とし,点 P と点 ( 0,-n ) を通る直線を l 2 とする.以下の問いに答えよ.
(1) l1 の傾きを p を用いて表せ.
(2) l2 の傾きを p , n を用いて表せ.
(3) l1 と l 2 が垂直であるとき, p を n を用いて表せ.
(4) l1 と l 2 が垂直であるとき,直線 PQ と C で囲まれる部分の面積 S n を求めよ.
(5) (4)で求めた S n について, Sn≧ 288 となる n の最小値を求めよ.
2022-10801-0110
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
【4】 次の に適する数を,解答用紙の指定のところに記入せよ.
(1) f⁡( x)=sin 2⁡(2 ⁢x+ π3 ) のとき, f′ ⁡(0 )= ア である.
2022-10801-0111
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF9頁4行)へ
(2) limx→ 0 a⁢x+ 4-b x=1 が成り立つとき, a= イ , b= ウ である.
2022-10801-0112
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF9頁10行)へ
(3) p , q を正の実数とし,空間内の 4 点 A (p, 1,0 ), B (p, -1,0 ), C (-q ,0,0 ), D (0, 0,1 ) を考える. ▵ABC が正三角形で, 2 つのベクトル AD → , BC→ が垂直であるとき, p= エ , q= オ である.
2022-10801-0113
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF9頁17行)へ
(4) z , w を | z|= 2 , |w |=5 を満たす複素数とする. z⁢w ‾ の実部が 3 であるとき, |z- w|= カ である.
2022-10801-0114
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF10頁)へ
(5) 関数 f ⁡(x ) が f ⁡(x )=x+ ∫0 πf ⁡(t )⁢sin ⁡t⁢ dt を満たすとき, f⁡( 0)= キ である.
2022-10801-0115
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF10頁6行)へ
(6) 媒介変数 t >0 を用いて x =t+e t , y=2+ log⁡t と表された曲線の t =1 に対応する点における接線の方程式は, y= ク ⁢x + ケ である.
2022-10801-0116
【5】 以下の問いに答えよ.
(1) {a n} を初項が 6 , 公差が 3 の等差数列, {b n} を初項が 3 , 公比が 2 の等比数列とする.
(ⅰ) a2 , a3 , b2 , b3 を求めよ.
(ⅱ) すべての n ≧4 について a n<b n となることを証明せよ.
2022-10801-0117
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF11頁)へ
(2) s , t を実数とする. x についての 2 次方程式 x 2+s⁢ x+t=0 のすべての解の実部が負であるような点 ( s,t ) の領域を s ⁣t 平面上に図示せよ.
2022-10801-0118
【6】 以下の問いに答えよ.
(1) t は 0 <t<1 であるとする.座標平面上を動く点 Q を考える. Q は次の規則(*)に従う移動を繰り返す.
n を自然数とし,はじめ原点にいた Q が n 回移動したとき,直線 y =x 上にいる確率 P n とおく.
(ⅰ) a→ =(3 ,2) , b→ =(2 ,5) とする.次の条件(#)をみたす自然数の組 ( l,m ) をすべて求めよ.
(ⅱ) (ⅰ)で求めた ( l,m ) について, l+m のとりうる値の最小値を N とするとき, P1 , P2 , ⋯ , PN , PN+ 1 ,⋯ , P2⁢ N を求めよ.
(ⅲ) t が 0 <t<1 の範囲を動くとき,(ⅱ)で求めた P N が最大となる t を求めよ.
2022-10801-0119
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF12頁)へ
(2) x を実数とし,無限等比級数
(◇) 1 (x +1) 2+ 1 (1+ x) 4+ 1 (1+ x) 6 +⋯+ 1 (x +1) 2⁢n + ⋯
を考える.
(ⅰ) 無限等比級数(◇)が収束するような x の値の範囲を求めよ.
(ⅱ) x が(ⅰ)で求めた範囲にあるとき,無限等比級数(◇)の和を求めよ.
(ⅲ) (ⅱ)で求めた和を f ⁡(x ) とおく. k を 2 以上の自然数とするとき,曲線 y =f⁡( x) と,直線 x =1 , x=k , および x 軸で囲まれた部分の面積 S k を求めよ.
(ⅳ) (ⅲ)で求めた S k について,極限 lim k→∞ Sk を求めよ.
志望別問題選択一覧
教育(学校教育教員養成課程数I・数II・数A・数B受験者)工(社会デザインコース),農学部 【1】,【2】,【3】
教育(学校教育教員養成課程数I・数II・数III・数A・数B受験者)学部 【2】,【3】,【4】
理,工(環境建設工学科社会デザインコース除く),医(医学科)学部 【4】,【5】,【6】