2022　愛媛大学　後期MathJax

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(1)　空間のベクトル$\overrightarrow{p}$が，$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を用いて$\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}$と表されるとする．

$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{a}＝4\text{，}$$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{b}=4\text{，}$$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{c}=23\text{，}$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\text{．}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-2\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0\text{，}$

$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=3$

が成り立つとき$x=\text{ア}\text{，}$$y=\text{イ}\text{，}$$z=\text{ウ}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(2)　関数$f(x)=\log (x^2+e)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，曲線$y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$における接線の方程式は

$y=\text{エ}x+\text{オ}$

である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\left|x\right|\cos 3x\mathit{dx}=\text{カ<mspace width="1em"></mspace>}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{\log 2}^{\log 5}}{\displaystyle \frac{2e^x}{e^{2x}-1}}\mathit{dx}=\text{キ}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(5)　$1$から$7$までの数字が書かれたカードがそれぞれ$4$枚ずつある．この合計$28$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引くとき，カードに書かれた数の和が$3$の倍数になる確率は$\text{ク}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(6)　数列$\{a_n\}$は公比が$r$の等比数列で，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n=2\text{，}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_{2n}=-3$

を横たすとする．このとき$r=\text{ケ}\text{，}$$a_1=\text{コ}$である．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$i$を虚数単位とし，$a$を実数とする．$2i$が方程式$z^6=a$の解であるとき，$a$の値と$2i$以外の解をすべて求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\alpha$を無理数とする．実数$x$が$\cos x+\cos \alpha x=2$を満たすための必要十分条件は，$x=0$であることを証明せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　$2^{|x+1|}+2^{|x-1|+1}=5\sqrt{2}$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とし，曲線$y=x^n$$\text{（}x>1\text{）}$上の点$\mathrm{A}$$(t,t^n)$における接線を$l$とする．また，$l$上に点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を，$\mathrm{B}$の$x$座標は$t$より大きく，$\mathrm{C}$の$x$座標は$t$より小さくなるようにとる．点$\mathrm{D}$$(t,t^n+1)$とし，$y$軸上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{\angle EAC}=\mathrm{\angle DAB}$となるようにとる．$l$の傾きを$\tan {\theta }_1\text{，}$$\mathrm{E}$と$\mathrm{A}$を通る直線の傾きを$\tan {\theta }_2$とする．ただし，$0<{\theta }_1<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{．}$$0<{\theta }_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を$n$と$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle DAB}=\theta$とするとき，${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　${\theta }_2$を${\theta }_1$を用いて表せ．

(4)　$\tan {\theta }_2$を$\tan {\theta }_1$を用いて表せ．

(5)　$\mathrm{E}$の$y$座標を$n$と$t$を用いて表せ．

(6)　$\mathrm{E}$の$y$座標が$t$の値に関係なく一定となるような$n$の値を求めよ．