2022　高知大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=1\text{，}$$a_2=5\text{，}$および，すべての自然数$n$に対して，

$a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n-4$

をみたすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，$b_n=a_{n+1}-a_n$で数列$\{b_n\}$を定義する．一般項$b_n$を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$1\leqq p\leqq 8\text{，}$$1\leqq q\leqq 8\text{，}$$|p-q|>2$を同時にみたす整数の組$(p,q)$の個数を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，整数$p$と$q$は，$1\leqq p\leqq n$と$1\leqq q\leqq n$をみたすとする．さらに，$p$と$q$の少なくとも一方が${\displaystyle \frac{n}{2}}$以上であるような整数の組$(p,q)$の個数$a_n$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$1\leqq p\leqq n\text{，}$$1\leqq q\leqq n\text{，}$$p^2+q^2\leqq n^2$を同時にみたす整数の組$(p,q)$の個数を$b_n$とする．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{n^2}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

となることを示せ．

【３】　$a$と$b$は実数とし，次の方程式を考える．

$x^2+ax+b=0$$\cdots \text{①}$

また，$|z-(\sqrt{3}+i)|=1$をみたす複素数平面上の点$z$からなる図形を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$\text{①}$の$1$つの解の偏角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるときの$a$と$b$の条件を求めよ．さらに，その条件をみたす点$(a,b)$の集合を$ab$平面上に図示せよ．

(2)　方程式$\text{①}$の解の$1$つに対応する複素数平面上の点が$C$上にあるとする．その解の絶対値が最大となるときの$a$と$b$を求めよ．

(3)　方程式$\text{①}$の解の$1$つに対応する複素数平面上の点が$C$上にあるとする．その解の偏角が$0$以上$2\pi$未満の範囲において最大となるときの$a$と$b$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　正の実数$x$に対して，$e^x>1+x$が成り立つことを示せ．

(2)　$n\geqq 1$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}>\log (n+1)$が成り立つことを示せ．

(3)　$k\geqq 2$に対して，${\displaystyle \frac{1}{k^2}}<{\displaystyle \frac{1}{(k-1)k}}$が成り立つことを用いて，$n\geqq 2$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}<2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$が成り立つことを示せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}$は正の無限大には発散しないことを示せ．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k}}$は正の無限大に発散することを示せ．

【１】　$1$辺の長さが$1$である正四面体を$\mathrm{ABCD}$とし，三角形$\mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{G}$を$\overrightarrow{\mathrm{AG}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}}{4}}$をみたす点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{P}$は同一直線上にあることを示せ．

(3)　$\mathrm{AG}:\mathrm{GP}$を求めよ．

(4)　$\cos \mathrm{\angle AGB}$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$\sin {\displaystyle \frac{11}{12}}\pi$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，次の方程式をみたす$\theta$を求めよ．

$\cos 2\theta +11\sin \theta -6=0$

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，次の方程式をみたす異なる$\theta$がちょうど$4$個あるような実数$k$の範囲を求めよ．

$\sin 3\theta -9{\sin }^2\theta +9\sin \theta =k$

【３】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=1\text{，}$および，すべての自然数$n$に対して，

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{4-a_n}{3-a_n}}$

をみたすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推測して，それが正しいことを証明せよ．

【４】　$a>0$とする．$y=x(a-x)$で定まる曲線を$C$とする．そして，$C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$2$等分するような，原点を通る直線を$l$とする．また，$C$と$l$との原点以外の交点を$\mathrm{P}$とする．さらに，$C$の$\mathrm{P}$における接線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$m$の方程式を求めよ．

(4)　$y$軸と$C$と$m$で囲まれた部分の面積は(1)で求めた値に等しいことを示せ．