2022　福岡教育大学　後期MathJax

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(問２)　$\overrightarrow{\mathrm{FD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{FE}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{FD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FE}}$の値を求めよ．

(問３)　$\overrightarrow{\mathrm{FD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{FE}}$のなす角を求めよ．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{8(n+1)a_n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められているとき，次の問いに答えよ．

(問１)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．

(問２)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(問３)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\sqrt{a_n{a}_{n+1}}$の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$\text{（}0\leqq x<1\text{）}$

によって定める．曲線$y=f(x)$上の点$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},f({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\left)\right)$における接線を$l$とする．また，曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸，$y$軸および接線$l$で囲まれた部分を$D$とする．次の問いに答えよ．

(問１)　$l$の方程式を求めよ．

(問２)　$D$の面積を求めよ．

(問３)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．