2022　福岡教育大学　追試験MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(問１)　空間内に$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,2,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-1,-1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(2,2,-4)$がある．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{OAB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(問２)　小学生が$5$人，中学生が$4$人，高校生が$3$人いる．この$12$人から小学生，中学生，高校生それぞれが少なくとも$1$人以上含まれるように選ぶ．選び方は何通りあるか．

【１】　次の問いに答えよ．

(問３)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\displaystyle \frac{1}{x^2+3}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(問１)　$n$を整数とするとき，次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　$n$が$5$で割り切れないとき$n^4-1$は$5$で割り切れることを示せ．

(イ)　$n^9-n$は$15$で割り切れることを示せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(問２)　直角三角形の直角の頂点を$\mathrm{O}$とし，斜辺の長さを$1$とする．$2$以上の自然数$n$に対して，斜辺を$n$等分する点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}$とおいたとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{(\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k)}^2$

を求めよ．

【３】　複素数$\alpha$は

【４】　$a$を$1$より大きい実数とする．原点から曲線$y={(\log x)}^2$へ引いた接線が点$(a,{(\log a)}^2)$で曲線$y={(\log x)}^2$に接している．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．