2022　九州工業大学　前期MathJax

$f(x)=x^2-px+1\text{，}$$g(x)＝{\displaystyle \frac{1}{p}}x$

とおく．定数$\alpha >1$に対し$f(\alpha )=0$であるとき，曲線$C\text{：}y=f(x)$および直線$l\text{：}y=g(x)$について，次に答えよ．

(ⅰ)　$f\left({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\right)=0$を示せ．

(ⅱ)　曲線$C$と直線$l$の交点の座標を$p$を用いて表せ．

(ⅲ)　曲線$C$の点$(\alpha ,f(\alpha ))$における法線を$m$とする．法線$m$と直線$l$の交点の座標を$p$を用いて表せ．

(ⅳ)　(ⅲ)の法線$m$を$y=h(x)$と表す．連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq f(x)\\ y\leqq g(x)\\ y\geqq h(x)\end{array}$

の表す図形を$D$とする．図形$D$を直線$x={\displaystyle \frac{p}{2}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}}}\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{x-2}{x}}$

がある．次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }\{\log (\sqrt{x}+\sqrt{x+4})-\log \sqrt{x}\}$を求めよ．

(ⅱ)　$2$つの関数$\sqrt{x(x+4)}$と$\log (\sqrt{x}+\sqrt{x+4})$をそれぞれ微分せよ．

(ⅲ)　$x>0$のとき，不等式$f(x)>g(x)$を示せ．

(ⅳ)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$y=g(x)$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．$t>2$のとき，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$と線分$\mathrm{OP}$および直線$x=t$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．極限値$\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$を求めよ．

(ⅰ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面上の任意の点を$\mathrm{P}$とする．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値が$0$になることを示せ．

　以下では，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ

$(-1,1,2)\text{，}$$(3,-1,0)\text{，}$$(1,3,-2)$

とする．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(ⅲ)　正の実数$k$に対して$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をみたす点$\mathrm{E}$がある．三角形$\mathrm{EBC}$の面積が$6\sqrt{5}$であるとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)で求めた点$\mathrm{E}$に対して，三角形$\mathrm{EBC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．以下の$2$つの条件をみたす点$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

（条件１）$\overrightarrow{\mathrm{GQ}}$は$3$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面に垂直である．

（条件２）四面体$\mathrm{QEBC}$の体積と四面体$\mathrm{EABC}$の体積が等しい．

$b_n={\displaystyle \frac{a_n+a_{n+1}+a_{n+2}}{3}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次に答えよ．

(ⅰ)　$a_n=n^2$の場合を考える．このとき，$b_n$および${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を$n$を用いて表せ．

(ⅱ)　$a_n=\sin n\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$の場合を考える．$b_n=0$がすべての$n$について成り立つとき$\theta$を求めよ．

(ⅲ)　$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$の場合を考える．

(ⅲ-1)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{a_{n+1}}}$を求めよ．

(ⅲ-2)　$b_n$と$a_{n+1}$の大小を比較せよ．

(ⅳ)　$a_1=1\text{，}$$a_2=4\text{，}$および${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$が成り立つ場合を考える．

(ⅳ-1)　$a_{n+1}$と$a_n$の関係を表す等式を求めよ．

(ⅳ-2)　$b_n$および${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を$n$を用いて表せ．