2022　九州工業大学　後期MathJax

・$1$投目に出た目を記録する．

・$2$投目以降は，最後に記録された目よりも大きな目が出た場合に，出た目を記録する．最後に記録された目より小さいか等しい目が出た場合は，出た目を記録しない．

・出た目が$5$以下の場合は再びさいころを投げ，出た目が$6$の場合は$6$を記録して終了する．

終了するまでにさいころを投げた回数を$n$とする．たとえば，$1$投目に$3$が，$2$投目に$2$が，$3$投目に$5$が，$4$投目に$6$が出た場合，$n=4$となり，目の記録は$3\text{，}$$5\text{，}$$6$となる．次に答えよ．

(ⅰ)　$n=2\text{，}$かつ，目の記録が$1\text{，}$$6$となる確率を求めよ．

(ⅱ)　$n=3\text{，}$かつ，目の記録が$1\text{，}$$6$となる確率を求めよ．

(ⅲ)　$n=3$の条件の下で，目の記録が$1\text{，}$$6$となる条件付き確率を求めよ．

(ⅳ)　$n=m$$\text{（}m\geqq 2\text{），}$かつ，目の記録が$3\text{，}$$6$となる確率を，$m$を用いて表せ．

(ⅴ)　$1$投目で$1$を記録し，$k$投目で$3$を記録し，$m$投目で$6$を記録して$\text{（}1<k<m\text{），}$目の記録が$1\text{，}$$3\text{，}$$6$となる確率を，$m$と$k$を用いて表せ．

(ⅵ)　$n=m$$\text{（}m\geqq 3\text{），}$かつ，目の記録が$1\text{，}$$3\text{，}$$6$となる確率を，$m$を用いて表せ．

(ⅰ)　直線$m$の式を$a$と$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a$と$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　線分$\mathrm{OQ}$の長さ$s$を$a$と$t$を用いて表せ．

(ⅳ)　直線$l$と曲線$C$で囲まれた図形を$l$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

(ⅴ)　$a$が変化するとき，${\displaystyle \frac{V}{a^3}}$の最大値を求めよ．

$f_1(x)=x\text{，}$$f_2(x)=2x^2-1\text{，}$

$f_n(x)=2x{f}_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)$$\text{（}n=3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．ただし，$-1\leqq x\leqq 1$とする．次に答えよ．

(ⅰ)　$f_3(x)$を$x$の整式で表せ．

(ⅱ)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，すべての自然数$n$に対して$f_n(\cos \theta )=\cos n\theta$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

(ⅲ)　(ⅱ)を用いて，$n\geqq 2$のとき，$|f_n^{\prime }(a)|={\displaystyle \frac{n}{\sqrt{1-x^2}}}$をみたす$x$$\text{（}-1<x<1\text{）}$をすべて求めよ．

(ⅳ)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{9}}$のとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{q}{p}}$をみたす互いに素な自然数$p\text{，}$$q$は存在しないことを背理法で示せ．ただし，$f_3(\cos \theta )=\cos 3\theta$が成り立つことを用いてよい．

(ⅰ)　点$\mathrm{A}$の座標が$(2,1)\text{，}$点$\mathrm{B}$の座標が$(1,3)$のとき，$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=(1,-7)$となるように$m\text{，}$$n$を定めよ．

(ⅱ)　$|\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}|$を最小にする実数$t$とその最小値$s$を$a\text{，}$$b\text{，}$$p$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，(ⅱ)の最小値$s$を$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(ⅳ)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$a\leqq b\text{，}$${\displaystyle \frac{\left|p\right|}{a^2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすとき，$\overrightarrow{a}$は，

$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$$\text{（}m\text{，}$$n$は整数，$(m,n)\ne (0,0)\text{）}$

と表せるベクトルの中で，大きさが最小のベクトルであることを示せ．

(ⅴ)　点$\mathrm{A}$の座標を$(1,0)$とし，点$\mathrm{B}$を第$1$象限内にある点とする．また，原点$\mathrm{O}$を基準とする位置ベクトルが

$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$$\text{（}m\in \{-1,0,1\}\text{，}$$n\in \{-1,0,1\}\text{，}$$(m,n)\ne (0,0)\text{）}$

である$8$個の点を考え，その中で$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$をみたす点を$\mathrm{C}$とする．原点$\mathrm{O}$からこれら$8$個の点までの距離の中で距離$\mathrm{OC}$が最小となるとき，点$\mathrm{B}$が存在する領域を座標平面に図示せよ．