2022　長崎大学　前期MathJax

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が次の連立不等式

$x+2y\leqq 6\text{，}$$3x+y\leqq 9\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$

の表す領域を動くとき，$2x+y$の最大値，およびそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　$0\leqq \theta <\pi$のとき，次の不等式を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．

$\cos 2\theta +\sqrt{3}\sin 2\theta \geqq 1$

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　以下で定義される数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=2a_n-1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，一般項$a_n$および${\displaystyle \sum _{k=1}^n}2k{a}_k$を，それぞれ求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　母線の長さが$1\text{，}$高さが$h$の円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$がある．この円錐の体積を$V(h)$とするとき，$V(h)$の最大値，およびそのときの$h$の値を求めよ．

【２】　空間内の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(7,3,5)$がある．直線$\mathrm{OA}$上の動点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{BP}\text{，}$$\mathrm{CP}$の長さの平方の和${\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$の最小値と，線分の長さの和$\mathrm{BP}+\mathrm{CP}$の最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$\text{（}t$は実数）とするとき，${\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$を$t$の式で表せ．

(2)　${\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$の最小値と，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，交点をそれぞれ$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{K}$とするとき，$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{K}$の座標を求めよ．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{HB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{KC}}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{BP}+\mathrm{CP}$の値が最小となるのは，$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{HK}$をどのような比に分けるときかを説明せよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標，および$\mathrm{BP}+\mathrm{CP}$の値を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$a>0$とする．$a+a^{-1}=18$のとき，$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}$および$a^{\frac{1}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}$の値を，それぞれ求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　次の方程式

${\log }_{\frac{1}{3}}(9x^2)\cdot {\log }_3\left({\displaystyle \frac{x}{81}}\right)=-12$

を解け．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，次の不等式を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．

$\cos 2\theta +\sqrt{3}\sin 2\theta \geqq 1$

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　次の方程式

$z^4=-8-8\sqrt{3}i$

を解け．ただし，$i$は虚数単位である．

【５】　自然数$n$に対して，以下で定義される$x$の$2$次関数$f_n(x)$がある．

$f_1(x)=3x^2\text{．}$

$f_2(x)=3x^2+4x$

$⋮$

$f_{n+2}(x)=3x^2+4x{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_{n+1}(t)\mathit{dt}$$-{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(t)\mathit{dt}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(t)\mathit{dt}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$の値を，それぞれ求めよ．

(2)　$a_{n+2}$を，$a_{n+1}$と$a_n$を用いて表せ．

(3)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とする．$b_n$と$a_n$を，それぞれ$n$の式で表し，$2$次関数$f_n(x)$を求めよ．

(4)　$x=\alpha$で，$f_{n+1}(x)-f_n(x)$は，すべての自然数$n$に対して一定の値$\beta$をとる．このとき，$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．また，$2$つの曲線$y=f_n(x)$と$y=f_{n+1}(x)\text{，}$および直線$x=\alpha$で囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．

【６】　曲線$C\text{：}y=e^x$上の点$\mathrm{P}$$(t,e^t)$における接線を$l$とする．ただし，$0<t<1$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．また，$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標を，それぞれ求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}$および${\displaystyle \int }{(\log x)}^2\mathit{dx}$を，それぞれ求めよ．

(3)　$l$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D_1$とし，これを$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1(t)$とする．同様に，$C$と$l$および$y$軸で囲まれた図形を$D_2$とし，これを$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2(t)$とする．このとき，$V_1(t)$と$V_2(t)$を，それぞれ$t$を用いて表せ．

(4)　$V(t)=V_1(t)+V_2(t)$とするとき，$V(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．

【７】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上に，$\stackrel{\text{だ}}{\text{楕}}$円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a>b>0\text{）}$と，$C$上を動く点$\mathrm{P}$$(a\cos \alpha ,b\sin \alpha )$$(0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$がある．以下の問いに答えよ．

(1)　$C$の方程式の両辺を$x$で微分し，$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを求めよ．また，この接線の方程式は${\displaystyle \frac{\cos \alpha }{a}}x+{\displaystyle \frac{\sin \alpha }{b}}y=1$であることを示せ．

(2)　$\mathrm{P}$における$C$の接線と$x$軸および$y$軸とで囲まれる三角形の面積$S$の最小値を求めよ．また，このときの$\mathrm{P}$を点$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$l$とする．$\mathrm{Q}$の座標および$l$の方程式を，$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$C$上の点$\mathrm{R}$$(a\cos \beta ,b\sin \beta )$$({\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <\pi )$における接線$m$が，(2)で求めた$l$と垂直に交わるものとし，その交点を$\mathrm{A}$とする．このとき，$\tan \beta$の値および$\mathrm{R}$の座標を，$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(4)　(2)と(3)における$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{A}$について，線分$\mathrm{OQ}\text{，}$$\mathrm{OR}\text{，}$$\mathrm{OA}$の長さの平方${\mathrm{OQ}}^2\text{，}$${\mathrm{OR}}^2\text{，}$${\mathrm{OA}}^2$をそれぞれ$a\text{，}$$b$を用いて表し，線分$\mathrm{OQ}\text{，}$$\mathrm{OR}\text{，}$$\mathrm{OA}$の長さの大小を比較せよ．

【８】　自然数$n$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^n\mathit{dx}$とする．ただし，$e$は自然対数の底であり，無理数である．以下の問いに答えよ．

(1)　$I_1\text{，}$$I_2$の値を，それぞれ求めよ．また，$I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ．

(2)　$a$および$b$を有理数とする．$a+be=0$ならば$a=0$かつ$b=0$であることを，背理法を用いて証明せよ．

(3)　すべての$n$に対して，$I_n=A_n+B_{n}e$$\text{（}{A}_n\text{，}$$B_n$は有理数）と表すことができる．このことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(4)　(3)における$A_n$に対して，$C_n={\displaystyle \frac{A_n}{{(-1)}^{n+1}n!}}$とする．このとき，$C_n$および$A_n$を，それぞれ$n$を用いて表せ．

(5)　(3)における$B_n$は，$B_n=1+{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{(-1)}^i{}_{n}P_i$であることを数学的帰納法を用いて証明し，$I_5$の値を求めよ．

　ただし，${}_{n}P_r={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}$$\text{（}r$は$r\leqq n$の自然数）であり，$0!=1$とする．

【10】　動点$\mathrm{P}$は数直線上の座標$1$あるいは$-1$にある．表が出る確率$p$$\text{（}0<p<1\text{），}$裏が出る確率$1-p$のコインを投げ，その結果により$\mathrm{P}$に以下のような操作を行う．

　コインを$n$回投げたときの$\mathrm{P}$の座標を$X_n$とし，$X_n=1$となる確率を$q_n$とする．最初に$\mathrm{P}$は$1$にあるものとして，以下の問いに答えよ．

(1)　$q_1\text{，}$$q_2\text{，}$$q_3$を，それぞれ$p$を用いて表せ．

(2)　$q_{n+1}$を$p$と$q_n$を用いて表せ．

(3)　$q_n$を$p$と$n$を用いて表せ．

(4)　確率変数$X_n$の平均$E(X_n)\text{，}$分散$V(X_n)\text{，}$標準偏差$\sigma (X_n)$を，それぞれ$p$と$n$を用いて表せ．

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