2022　熊本大学　前期MathJax

【１】　座標空間の$6$点

$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,3,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}$

$\mathrm{D}(3,-1,{\displaystyle \frac{5}{6}})\text{，}$$\mathrm{E}(8,4,-{\displaystyle \frac{1}{3}})\text{，}$$\mathrm{F}(5,3,{\displaystyle \frac{1}{2}})$

について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は一直線上にないこと，および$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$は一直線上にないことを示せ．

(問２)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面と，$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を通る平面の交わりとして得られる直線を$l$とする．$l$上の点を$1$つと，$l$と平行なベクトルを$1$つ求めよ．

【２】　袋の中に赤玉$2$個と白玉$2$個の合計$4$個の玉が入っている．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人で次のルールに従ってゲームをする．

・$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の順で繰り返しプレイヤーになる．

・プレイヤーは袋から玉を同時に$2$個取り出す．取り出した玉の色が同じならば，プレイヤーの勝利とする．取り出した玉の色が異なるならば，それらを袋に戻してよくかき混ぜ，プレイヤーを交替する．

・$\mathrm{A}$が勝利するか，$\mathrm{A}$が勝利せずに$\mathrm{A}$の後に$\mathrm{B}$がプレイヤーになり，$\mathrm{B}$が勝利するか，$\mathrm{B}$が勝利せずにプレイヤーを交替することによって$1$巡が終了する．

・勝者が決まるとゲームは終了する．

　以下の問いに答えよ．

(問１)　$\mathrm{B}$が$1$巡目で勝者になる確率を求めよ．

(問２)　$N$を自然数とし，$N$巡目以内に$\mathrm{B}$が勝者になる確率を$p_N$とする．$p_N>0.396$となる$N$の最小値を求めよ．ただし，${\log }_{2}3=1.585\text{，}$${\log }_{2}5=2.322$とする．

(問３)　$N$を自然数とする．$N$巡目以内に勝者になる確率は，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のどちらが大きいか．

【３】　数列$\{a_n\}$は漸化式

$a_{n+2}={\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_n}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．$a_1<a_2$のとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$n=3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}\cdots$に対して

$a_1<a_n<a_2$

が成り立つことを示せ．

(問２)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して

$b_n=a_{2n-1}\text{，}$$c_n=a_{2n}$

として数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$を定めると，

$b_n<b_{n+1}<c_{n+1}<c_n$

が$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して成り立つことを示せ．

【４】　座標平面上の曲線$y=x^3-4x^2-4$を$C$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{A}$$(4,-4)$を通り，傾きが$k$の直線を$l$とする．曲線$C$と直線$l$が点$\mathrm{A}$の他に相異なる$2$つの共有点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をもつとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(問２)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線をそれぞれ$l_{\mathrm{P}}\text{，}$$l_{\mathrm{Q}}$とする．$k$が(問１)の範囲にあるとき，接線$l_{\mathrm{P}}$と$l_{\mathrm{Q}}$の交点が描く曲線の方程式を求めよ．

(問３)　(問２)の曲線と$x$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　$a$を実数とし，座標空間の点${\mathrm{P}}_1$$(a,0,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(a+1,0,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{R}$$(0,0,3)$を考える．${\mathrm{G}}_1\text{，}$${\mathrm{G}}_2$をそれぞれ$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_1\mathrm{QR}\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_2\mathrm{QR}$の重心とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$を通る直線と，${\mathrm{G}}_1\text{，}$${\mathrm{G}}_2$を通る直線は平行であることを示せ．

(問２)　四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{G}}_2{\mathrm{G}}_1$の面積を求めよ．

(問３)　四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{G}}_2{\mathrm{G}}_1$を底面とする四角錐$\mathrm{Q}‐{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{G}}_2{\mathrm{G}}_1$の体積を求めよ．

【３】　$x\text{，}$$y$を実数とし，$f(p)=p^2+xp+y$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$p$の$2$次方程式$f(p)=0$が実数解を持つような点$(x,y)$全体の集合を$D$とおく．$D$を$xy$平面上に図示せよ．

(問２)　$p$の$2$次方程式$f(p)=0$は実数解を持つとする．$f(p)=0$の実数解がすべて$1$以下で，少なくとも$1$つの実数解は$0$以上となるような点$(x,y)$全体の集合を$E$とおく．$E$を$xy$平面上に図示せよ．

(問３)　点$(x,y)$が(問２)の集合$E$全体を動くとき，$x^2+y^2-4y+4$の最小値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\sqrt{1+{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi x}{2}}}$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の最小値と最大値を求めよ．

(問２)　$0\leqq x\leqq 1$において，$\sqrt{2}x\leqq f(x)\leqq \sqrt{2}$となることを示せ．

(問３)　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^n\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}$の値を求めよ．ただし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (n+1)}{n}}=0$を用いてよい．

【２】　関数$f(x)=\sqrt{1+{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi x}{2}}}$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の最大値を求めよ．

(問２)　$0\leqq x\leqq 1$において，$f(x)\geqq \sqrt{2}x$となることを示せ．

(問３)　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^n\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}$の値を求めよ．ただし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (n+1)}{n}}=0$を用いてよい．

【３】　$p$を正の実数とする．曲線$y=\sin x$$\text{（}x>0\text{）}$の接線で点$(-p,0)$を通るものをすべて考え，それらの接点の$x$座標を小さい方から順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_n\text{，}\cdots$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$\tan a_n=a_n+p$が成り立つことを示せ．

(問２)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$a_{n+1}-a_n>\pi$が成り立つことを示せ．

(3)　$a_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$\tan a_{n+1}>n\pi +\sqrt{3}$が成り立つことを示せ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(問１)　$m\leqq n$であって，$mn+2={}_{m+n}C_m$を満たす正の整数の組$(m,n)$を$1$つ求めよ．

(問２)　$m\leqq n$であって，$mn+2={}_{m+n}C_m$を満たす正の整数の組$(m,n)$は，(問１)で求めた組に限ることを示せ．