2022　大分大学　前期MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$は

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{29}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=\sqrt{11}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=2\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\sqrt{26}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=8$

を満たす．$t$を実数とし，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$をそれぞれ求めなさい．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最小値とそのときの実数$t$の値を求めなさい．

(3)　(2)の点$\mathrm{P}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$をそれぞれ示しなさい．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．

【２】　$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカードが$1$枚ずつ$1$つの袋に入っている．この袋から$1$枚のカードを取り出し，$1$つのサイコロを$2$回投げる．取り出したカードに書かれた数を$a\text{，}$$1$回目のサイコロの出た目の数を$b\text{，}$$2$回目のサイコロの出た目の数を$c$とする．

(1)　$2$次方程式$a{x}^2-bx+c=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めなさい．

(2)　$2$次方程式$a{x}^2-bx+c=0$が異なる$2$つの整数の解をもつ確率を求めなさい．

【３】　$a\text{，}$$b$を$0$でない定数とし，

$f(x)=(x+a)(x-3a)\text{，}$$g(x)=b(x-3a)$

とする．$3$次関数$F(x)$は$F(0)=0$と$F^{\prime }(x)=f(x)$を満たし，$2$次関数$G(x)$は$G^{\prime }(x)=g(x)$を満たす．ただし，放物線$y=G(x)$の頂点$(x_0,y_0)$に対して，関数$F(x)$は$x=x_0$で極値$y_0$をとるものとする．

(1)　関数$F(x)$を求めなさい．

(2)　関数$G(x)$を求めなさい．

(3)　$2$つの曲線$y=F(x)$と$y=G(x)$の共有点が$1$個となるとき，$b$を$a$を用いて表しなさい．

【４】　自然数$k$に対して

$a_k=\underset{n\to \infty }{\lim }{|\sin {\displaystyle \frac{(k^2+1)\pi }{4}}|}^n$

とする．また自然数$m$に対して

$b_m={\displaystyle \sum _{k=1}^m}{a}_k$

とする．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$を求めなさい．

(2)　$a_k=0$となる$k$と$a_k=1$となる$k$をそれぞれ求めなさい．

(3)　$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_{2m+1}}{m}}$を求めなさい．

【１】　関数$f(x)=\log {\displaystyle \frac{e^x}{x}}$を用いて，$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=f(a_n)$によって数列$\{a_n\}$が与えられている．ただし，対数は自然対数である．以下の問に答えなさい．

(1)　$1\leqq x\leqq 2$のとき，$0\leqq f(x)-1\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1)$が成立することを示しなさい．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めなさい．

(3)　$b_1=a_1\text{，}$$b_{n+1}=a_{n+1}{b}_n$によって与えられる数列$\{b_n\}$の極限を求めなさい．

【２】　$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$a\ne b$とする．また，$2$つの箱円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{，}$${\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$の第$1$象限における交点を通り，$y$軸に平行な直線の方程式を$x=c$とする．領域$D_1\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}\leqq 1\text{，}$$0\leqq x\leqq c\text{，}$$0\leqq y$の面積を$S_1\text{，}$領域$D_2\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}\leqq 1\text{，}$$0\leqq x\leqq c\text{，}$$0\leqq y$の面積を$S_2$とする．以下の問に答えなさい．

(1)　$c$を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

(2)　$S_1+S_2$を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

【３】　正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}$から出発して，辺を伝って歩き始める．最初の頂点$\mathrm{A}$では，その頂点につながる$3$本の辺のうち$1$本を確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で選んで次の頂点に向かって歩く．また，どれかの頂点に達したときに，その頂点につながる$3$本の辺のうち$1$本を確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で選んで次の頂点に向かって歩く．$n$を自然数，$\mathrm{Q}$を頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のどれかとするとき，$P_n(\mathrm{Q})$で，$n$本の辺を伝ったあと頂点$\mathrm{Q}$に達する確率を表す．以下の問に答えなさい．

(1)　$P_1(\mathrm{A})\text{，}$$P_1(\mathrm{B})\text{，}$$P_1(\mathrm{C})\text{，}$$P_1(\mathrm{D})$を求めなさい．

(2)　$P_2(\mathrm{A})\text{，}$$P_2(\mathrm{B})$を求めなさい．

(3)　数列$\{P_m(\mathrm{A})\}$の一般項を求め，その極限を求めなさい．