2022　大分大学　推薦福祉メカトロニクスコースMathJax

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

1)　$y=f(x)$において，$f(x)=a^x$とする．ただし，$a>0$の実数とする．以下の$3$つの小問に答えなさい．必要であれば，$\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}}=e$であることを用いてよい．

1-1)　$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めなさい．

1-2)　$g(x)=f^{-1}(x)$とする．このとき，$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$をその定義$g^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}}$を用いて求め，(ア)〜(エ)に入る文字を答えなさい．

$g^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_{\text{ア}}{(1+{\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}})}^{\frac{1}{\text{エ}}}$

1-3)　$g^{\prime }(1)=1$になるとき，実数$a$を求めなさい．

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

2)　任意の関数$f(x)$について，次の関係式が成り立つ．

${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_a^b}f(a+b-x)\mathit{dx}$

以下の$3$つの小問に答えなさい．

2-1)　$f(x)=2x+1$のとき，上記の関係式が成り立つことを示しなさい．ただし，$a\text{，}$$b$は実数とする．

2-2)　関数$f(x)$が以下に示すような関数のとき，$f(x)+f(a+b-x)$を求めなさい．ただし，$a=1\text{，}$$b=11$とする．

$f(x)={\displaystyle \frac{5x^3}{x^3+{(12-x)}^3}}$

2-3)　以下の積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_1^{11}}{\displaystyle \frac{5x^3}{x^3+{(12-x)}^3}}\mathit{dx}$

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

3)　つぎの条件によって定められた数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}-a_n-2^n=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の$3$つの小問に答えなさい．

3-1)　$a_4$を求めなさい．

3-2)　一般項が$b_n=2^n$で表される数列$\{b_n\}$の，第$1$項から第$n$項までの和$S_n$を求めなさい．

3-3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

4)　右図に示すように，$3$次元空間のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$がある．図の$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$の長さはそれぞれ$2\text{，}$$2\text{，}$$1$である．$\mathrm{OA}$と$\mathrm{AB}$のなす角は$\alpha$とする．以下の$2$つの小問に答えなさい．

4-1)　$\mathrm{OB}$の長さが$3$のとき，$\cos \alpha$を求めなさい．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を頂点とする三角形の面積$S_{\mathrm{OAB}}$を求めなさい．

4-2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を用いて${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2$を表しなさい．また，${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2$の最大値を求めなさい．

《編注》一部改変してベクトル表現にした．