2022　宮崎大学　前期MathJax

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　関数$f(x)=x{(\log x)}^2$の導関数は，$f^{\prime }(x)=(\text{あ})\log x$である．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\tan x}{x^2}}$の導関数は，$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\text{い}}{x^3{\cos }^{2}x}}$である．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^3-1}{(x-1)(x-2)}}$の不定積分は，${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\text{う}+C$である．ただし，$C$は積分定数とする．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(4)　関数$f(x)=e^{\sqrt{x}}$の不定積分は，${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\text{え}+C$である．ただし，$C$は積分定数とする．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{12}}}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\mathit{dx}$の値は，$\text{お}$である．

【２】　関数$f(x)=x\sqrt{3-x}$および座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通る曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の各問に答えよ．

(1)　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．

・$f(x)$の導関数は，$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\text{あ}}{2\sqrt{3-x}}}$である．

・$f(x)$の第$2$次導関数は，$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{\text{い}}{4(3-x)\sqrt{3-x}}}$である．

・$\mathrm{O}$における$C$の接線を$l$とし，$l$の方程式を$y=kx$$\text{（}k$は定数）とすると，$k$の値は$\text{う}$である．

(2)　$\underset{x\to 3-0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$は，次のいずれかである．

$\underset{x\to 3-0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$は有限な値である

$\underset{x\to 3-0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\infty$

$\underset{x\to 3-0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=-\infty$

この$3$通りのいずれであるかを答えよ．ただし，有限な値であるときは，その値も求めよ．

(3)　関数$f(x)$の増減，極値，曲線$C$の凹凸，および変曲点を調べて，曲線$C$の概形をかけ．

(4)　曲線$C$と直線$l$および直線$x=3$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$と点$\mathrm{P}$が

$3\overrightarrow{\mathrm{OP}}+8\overrightarrow{\mathrm{AP}}+7\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$

を満たしているとする．直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のそれぞれを，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵ABQ}$の面積を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と平面$\mathrm{ABC}$が垂直であることを示せ．

(4)　四面体$\mathrm{PABQ}$の体積を求めよ．

【４】　次の文章中の空欄を適当な数で埋めよ．

　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$という$3$つの袋がある．どの袋の中にも赤玉$2$個と白玉$1$個が入っている．この状態から始めて，$3$つの袋の間で次のような$3$回の玉の移動を考える．

$1$回目は，$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，$\mathrm{B}$へ入れる．$1$回目の玉の移動が終わったときの$\mathrm{B}$の中の赤玉の個数を$N_1$とする．

続けて，$2$回目は，$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出し，$\mathrm{C}$へ入れる．$2$回目の玉の移動が終わったときの$\mathrm{C}$の中の赤玉の個数を$N_2$とする．

続けて，$3$回目は，$\mathrm{C}$から玉を$1$個取り出し，$\mathrm{A}$へ入れる．$3$回目の玉の移動が終わったときの$\mathrm{A}$の中の赤玉の個数を$N_3$とする．

ただし，袋$\mathrm{A}$から玉が取り出されるとき，どの玉も同じ確率で取り出されるものとする．袋$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から玉が取り出されるときも同様とする．

　$N_1=2$となる確率は$\text{あ}$であり，$N_1=3$となる確率は$\text{い}$である．

　「$1$回目に赤玉が移動して$2$回目に白玉が移動する」確率は$\text{う}$である．

　一方，「$1$回目に白玉が移動して$2$回目に白玉が移動する」確率は$\text{え}$である．

　よって，$N_2=2$となる確率は$\text{お}$である．

　$1$回目の移動が終わったときの，$\mathrm{A}$の中の赤玉の個数に注意すると，$N_3=1$となる確率は$\text{か}$であり，$N_3=3$となる確率は$\text{き}$である．また，$N_3=2$となる確率は$\text{く}$である．

【５】　座標平面上に円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$がある．$\mathrm{A}$を通る傾き$t$の直線と$C$との$2$つの交点を${\mathrm{Q}}_1$$(x_1,y_1)\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$$(x_2,y_2)$とする．ただし，$x_1<x_2$とする．また，$C$の${\mathrm{Q}}_1$における接線を$l_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$における接線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$は交わり，その交点を$\mathrm{P}$$(X,Y)$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$x_2-x_1$と$y_2-y_1$を，それぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　$X=-2t$であることを示せ．

(3)　$t$がすべての実数値をとって変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【１】　$x$を実数とするとき，次の不等式を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

$8^x+8^{-x}-(4^x+4^{-x})-11\geqq 0$

【３】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を，$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$b_1=2\text{，}$および

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+b_n\\ b_{n+1}=2a_n+1\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　次の式を満たす定数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の組を$2$組求めよ．

$a_{n+1}+p{b}_{n+1}+q=r(a_n+p{b}_n+q)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(3)　$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$について，それぞれの第$n$項$a_n\text{，}$$b_n$を求めよ．

(4)　$2$つの数列$\{c_n\}\text{，}$$\{d_n\}$を，$c_1=\sqrt{2}\text{，}$$d_1=4\text{，}$および

$\{\begin{array}{l}{c}_{n+1}=c_n{d}_n\\ d_{n+1}=2c_n^2\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．$\{c_n\}\text{，}$$\{d_n\}$の第$n$項$c_n\text{，}$$d_n$について，$c_n^2{d}_n$を求めよ．

【４】　微分可能な関数$f(x)\text{，}$$g(x)$が，$g(0)=1\text{，}$および

$f(x)=g(x)+3{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t-x}f(t)\mathit{dt}$

を満たしているとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)=2f(x)+h(x)$を満たす関数$h(x)$を，$g(x)$と$g^{\prime }(x)$を用いて表せ．

(2)　$e^{-2x}f(x)$の導関数を，$g(x)\text{，}$$g^{\prime }(x)$および$e^{-2x}$を用いて表せ．

(3)　$e^{-2x}f(x)$が定数関数のとき，$e^{x}g(x)$も定数関数であることを示せ．また，このときの$g(x)$および$f(x)$を求めよ．

(4)　$g(x)=x^2+1$のとき，$f(x)$を求めよ．

【５】　袋の中に，$1$から$10$までの数が$1$つずつ書かれた$10$枚の札が入っている．これをはじめの状態とする．袋から無作為に$1$枚の札を取り出し，取り出した札は袋の中に戻さないという操作を，はじめの状態から続けて$n$回行う．$n$回のうち，$k$回目$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の操作で取り出された札に書かれた数を$X_k$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$n=6$のとき，$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$X_6$の組$(X_1,X_2,\cdots ,X_6)$で，$X_1=1\text{，}$$X_2=2$かつ次の(＊)を満たす例を$1$つ挙げよ．

(＊)　すべての$i\text{，}$$j$$\text{（}i\ne j\text{）}$に対して$X_i+X_j\ne 10$

(2)　$n=7$のとき，次の(＊＊)が必ず成り立つことを示せ．

(＊＊)　$X_i+X_j=10$を満たす$i\text{，}$$j$$\text{（}i\ne j\text{）}$が存在する

(3)　$n=3$のとき，$3$回目の操作ではじめて(2)の(＊＊)が成り立つ確率を求めよ．

(4)　$n=4$のとき，$4$回目の操作ではじめて(2)の(＊＊)が成り立つ確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　整数$p$を$5$以上の素数とする．このとき，$p+2$が素数ならば，$p+1$は$6$の倍数であることを示せ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　ある素数を$2$進法で表したとき，すべての位の数字が$1$である$k$桁の数$\stackrel{k\text{個}}{\overbrace{11\cdots 1}}$になったとする．このとき，$k$は素数であることを示せ．ただし必要ならば自然数$m$に対して，

$X^m-1$$=(X-1)(X^{m-1}+X^{m-2}+\cdots +X+1)$

が成り立つことを用いよ．

【３】　平面上に，長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$O_1$があり，その中心を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{C}$を通る$\mathrm{AB}$の垂線と$O_1$の円周との交点の$1$つを$\mathrm{D}$とする．ただし，$0<t<1$とする．また，$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る円を$O_2$とし，その中心を$\mathrm{N}$とする．さらに，$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$を通る円を$O_3$とし，その中心を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{CD}$の長さを$t$を用いて表せ．

(2)　$2$つの円$O_2$と$O_3$の面積が等しくなるときの$t$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵MNP}$の面積が最大となるときの$t$の値を求めよ．

(4)　$4$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{N}$が同一円周上にあるときの$t$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　次の等式がすべての実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して成り立つことを示せ．

${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2(\alpha +\beta )$$=2-2\cos \alpha \cos \beta \cos (\alpha +\beta )$

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　座標平面上の$3$つの曲線

$C_1\text{：}y=x^2-4x+2$

$C_2\text{：}y=-x^2$

$C_3\text{：}y=-x^2+8x-16$

で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を，$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$b_1=2\text{，}$および

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+b_n\\ b_{n+1}=2a_n+1\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　次の式を満たす定数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の組を$2$組求めよ．

$a_{n+1}+p{b}_{n+1}+q=r(a_n+p{b}_n+q)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(3)　$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$について，それぞれの第$n$項$a_n\text{，}$$b_n$を求めよ．