2022　琉球大学　前期MathJax

【１】　$x>0$の範囲で，関数$f(x)$を

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}$

と定め，$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする．次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$の極値を求めよ．

問２　曲線$C$の接線で，点$(0,1)$を通り，傾きが負であるものを$l$とする．直線$l$の傾きを求めよ．

問３　曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$d$と$n$を正の整数とする．$1$から$n$までの$d$乗の和を$S_d(n)=1^d+2^d+\cdots +n^d$とおく．次の問いに答えよ．

問１　すべての正の整数$n$について，$S_3(n)={\displaystyle \frac{n^2{(n+1)}^2}{4}}$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

問２　恒等式$k^3{(k+1)}^3-{(k-1)}^3{k}^3=6k^5-2k^3$を利用して，$S_5(n)$を求めよ．

問３　すべての正の整数$n$について．$24S_7(n)$は整数$n^2{(n+1)}^2$で割り切れることを示せ．

【３】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OP}$の長さを$t$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$\cos \mathrm{\angle EDP}$を$t$を用いて表せ．

問２　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OC}$上を動くとき，$\cos \mathrm{\angle EDP}$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

問１　$1$から$9$までの自然数の中から，$1\leqq a_1<a_2<a_3\leqq 9$を満たすように$3$つの数を選び，それを$(a_1,a_2,a_3)$とする．このような$3$つの数$(a_1,a_2,a_3)$の選び方のうち，$a_2-a_1\geqq 3$かつ$a_3-a_2\geqq 3$を満たすものは全部で何通りあるか．

問２　$1$から$50$までの自然数の中から，$1\leqq a_1<a_2<a_3\leqq 50$を満たすように$3$つの数を選び，それを$(a_1,a_2,a_3)$とする．このような$3$つの数$(a_1,a_2,a_3)$の選び方のうち，$a_2-a_1\geqq 10$かつ$a_3-a_2\geqq 10$を満たすものは全部で何通りあるか．

問３　$1$番から$20$番までの番号が書かれた座席が，図のように円形に並んでいる．この中から，$2$つ以上の間隔を空けて$3$つの座席を選ぶ（例えば，$1$番を選んだときは$2$番，$3$番，$19$番．$20$番は選べない）．このような$3$つの座席の選び方は全部で何通りあるか．

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$\tan \alpha =5$のとき$\sin 2\alpha$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　$n$を正の整数とする．$n$を二進法で表すと$2022$桁である．このとき，$n$を十進法で表すと何桁になるか．ただし${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　$a\text{，}$$b$を実数とする．整式$f(x)$と整式$g(x)$をそれぞれ

$f(x)=x^4+a{x}^2-2x+3\text{，}$$g(x)=x^2+x+b$

と定める．$f(x)$が$g(x)$で割り切れるような実数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

【２】　座標平面上の$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=-x^2+2x\text{．}$$C_2\text{：}y=2x^2-4x+9$

について，次の問いに答えよ．

問１　放物線$C_1$と放物線$C_2$の両方に接する直線は$2$つ存在する．放物線$C_1$と放物線$C_2$の両方に接する直線の方程式を$2$つとも求めよ．

問２　問１で求めた$2$つの直線および放物線$C_1$で囲まれた部分の面積を求めよ．