2022　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　$p$を$0<p<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす定数とする．次の問いに答えよ．

問１　$3$次方程式$x=p+(1-p)x^3$の実数解のうち，$2$番目に大きいものを求めよ．

問２　問１で求めた実数解を$\alpha$とする．不等式$\alpha <p+p^3$が成り立つことを示せ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sqrt{k}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次の問いに答えよ．

問１　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{n\sqrt{n}}}$を求めよ．

問２　$a_n\geqq 18000$となるような最小の正の整数$n$を求めよ．

【３】　関数$f(x)$は$x>0$において等式$f(x)=\log x-{\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{|f(t)|}{t}}\mathit{dt}$を満たすとする．このとき，関数$f(x)$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

問１　等式$2^{199}={(1+1)}^{199}$と，$199$が素数であることを用いて，$2^{199}$を$199$で割った余りを求めよ．

問２　$2^{199}$を$39203$で割った余りを求めよ．ただし，$39203$が$39203=197\cdot 199$と素因数分解されることは証明なしに用いてよい．