2022　公立千歳科学技術大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　実数$x\text{，}$$y$が$2x^2+3y^2=1$を満たすとき，$x^2-3y$の最大値と最小値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　直交座標$(x,y)$の原点$\mathrm{O}$を極とし，$x$軸$\text{（}x\geqq 0\text{）}$の半直線を偏角$\theta$の始線とする極座標$(r,\theta )$において，極方程式$r^2=r(\sin \theta +4\cos \theta )-5+r^2{\sin }^2\theta$で表される曲線を，直交座標$(x,y)$における$x$と$y$の方程式として表しなさい．なお，$\theta$の向きは反時計まわりを正の向きとする．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$x$を正の実数とするとき$y={\displaystyle \frac{x^2+x+36}{x}}$の最小値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　${\displaystyle {\int }_x^1}f(t)\mathit{dt}=x{e}^{-x}+c$を満たす関数$f(x)$と定数$c$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　${\log }_2\{2(x-1)(x+2)\}<2$を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　$xy$平面上の曲線$x^2+y^2-2x+ay=0$（$a$は定数）上の点$\mathrm{A}$$(3,-3)$における接線の方程式を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(7)　正の整数$N$を$5$進法で表すと$3$桁の数${\mathit{abc}}_{(5)}$となり，$7$進法で表すと$3$桁の数${\mathit{cba}}_{(7)}$となる．このような整数$N$をすべて求めて$10$進法で答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(8)　座標平面上において，点$(a,b)$から曲線$y=e^x$に異なる$2$本の接線が引けるための条件を，$a$と$b$を用いて表しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　次のように定められる数列を$\{a_n\}$とする．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{2}})a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，任意の正の整数$n$について，$a_n\leqq n\cdot 2^{n-1}$が成り立つことを証明しなさい．

(2)　任意の実数$x$において，$f(x)>e^x$を満たす関数を$f(x)$とし，数列$\{b_n\}$を

$b_1=3\text{，}$$b_{n+1}=b_n+{\displaystyle {\int }_n^{n+1}}f(x)\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とするとき，任意の正の整数$n$について$b_n>2^n$が成り立つことを証明しなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$と点$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$がある．$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a})=0$を満たす点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$が描く図形を$C$とする．また，点$\mathrm{B}$を通り，方向ベクトルが$\overrightarrow{d}$$\text{（}\overrightarrow{d}\ne \overrightarrow{0}\text{）}$である直線を$l$とする．$C$と$l$は交わらず，$C$上の点$\mathrm{E}$と$l$上の点$\mathrm{F}$は，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$の長さが最小になる点であるとする．なお，位置ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{p}$の始点は原点$\mathrm{O}$であるものとする．このとき以下の問いに答えなさい．$\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$の長さを，ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$の大きさ$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{d}\right|$およびそれらベクトルの内積を用いて表しなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(2)　三角形$\mathrm{AEF}$の面積を，ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$の大きさ$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{d}\right|$およびそれらベクトルの内積を用いて表しなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(3)　$\overrightarrow{a}=(-1,\sqrt{3})\text{，}$$\overrightarrow{b}=(3,\sqrt{3})\text{，}$$\overrightarrow{d}=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{2}})$であるとき，三角形$\mathrm{AEF}$の面積を求めなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

【４】　座標平面上における$2$つの曲線$C_1\text{：}{x}^2+y^2=4$と$C_2\text{：}y=(2+\sqrt{3})x^2-2$について，以下の問いに答えなさい．解答欄には，途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めなさい．

(2)　次の連立不等式が表す領域の面積を求めなさい．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 4\\ y\geqq (2+\sqrt{3})x^2-2\end{array}$