2022　公立千歳科学技術大学　中期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$m$を正の整数とするとき，${\displaystyle \frac{54!}{3^m}}$が正の整数となるような最大の$m$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　直交座標$(x,y)$の原点$\mathrm{O}$を極とし，$x$軸$\text{（}x\geqq 0\text{）}$の半直線を偏角$\theta$の始線とする極座標$(r,\theta )$において，極方程式$r=4\cos \theta$で表される曲線を，直交座標$(x,y)$における$x$と$y$の方程式として表しなさい．なお，$\theta$の向きは反時計回りを正の向きとする．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$が，はじめに原点$x=0$にある．いま，$1$枚の硬貨を投げて表が出たときには，点$\mathrm{P}$を正の方向に$1$だけ移動させ，裏が出たときには，負の方向に$2$だけ移動させるものとする．硬貨を続けて$6$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が$x>0$にある確率を求めなさい．なお，使用した硬貨は表と裏が出る確率は等しいものとする．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$2^{2x+1}+2^{x+2}+2^x-3\leqq 0$を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面内において，曲線$y=a{x}^2$$\text{（}a>0\text{）}$上を動く点$\mathrm{P}$と，$x$軸上の正の部分を動く点$\mathrm{Q}$は，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$を満たす．また，$y$軸上を動く点$\mathrm{R}$は$\mathrm{OP}\perp \mathrm{QR}$を満たす．いま，点$\mathrm{P}$が第$1$象限にあって原点$\mathrm{O}$に限りなく近づくと，点$\mathrm{R}$は$(0,{\displaystyle \frac{a-1}{2}})$に近づく．このとき，$a$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　$Z_n={({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}i)}^{n-1}$$\text{（}n$は正の整数）において，$\left|Z_n\right|<{\displaystyle \frac{1}{50000}}$を満たす最小の$n$における$Z_n$の偏角$\theta$を$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で求めなさい．なお，$i=\sqrt{-1}$である．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(7)　無限級数${\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{2}{3!}}+{\displaystyle \frac{3}{4!}}+{\displaystyle \frac{4}{5!}}+{\displaystyle \frac{5}{6!}}+{\displaystyle \frac{6}{7!}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{(n+1)!}}+\cdots$の値を求めなさい．なお，無限級数$1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{1}{3!}}+{\displaystyle \frac{1}{4!}}+{\displaystyle \frac{1}{5!}}+{\displaystyle \frac{1}{6!}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}+\cdots$は自然対数の底$e$に収束することを用いてよい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(8)　$4$つの関数$\text{①}f(x)=x^2$$\text{②}f(x)=1-x$$\text{③}f(x)=e^x$$\text{④}f(x)=\sin 2x$を考える．それぞれの関数と正の整数$n$について，$2$つの数列を$a_n={\displaystyle {\int }_0^n}f(x)\mathit{dx}\text{，}$$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)$とするとき，任意の$n$について$a_n<b_n$を満たす関数をすべて選びなさい．解答欄には$\text{①}\text{〜}$$\text{④}$の番号で答えなさい．

【２】　$f(x)={\displaystyle {\int }_1^2}t|t-x|\mathit{dt}$の最小値を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

【３】　以下の条件A，B，C，Dは，整数$m$と$n$に関する条件である．

条件A　$\sin {\displaystyle \frac{m\pi }{2}}=\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{2}}$

条件B　$|n^2-{(m-1)}^2|$が$4$の倍数である．

条件C　$\left|{\displaystyle \frac{m+n\mathrm{+}1}{2}}\right|$が奇数である．

条件D　$x$についての方程式$x^2+(n-m+1)(x+1)=0$が重解をもつ．

このとき，以下の空欄に当てはまるものを語群から選び解答欄に(a)〜(d)を1 つずつ記入しなさい．また，(1)と(2)については，それが成り立つことを証明しなさい．

語群

(a)　必要十分条件である．

(b)　必要条件であるが，十分条件ではない．

(c)　十分条件であるが，必要条件ではない．

(d)　必要条件でも十分条件でもない．

(1)　$m$と$n$が条件Bを満たすことは，$m$と$n$が条件Aを満たすための$$

(2)　$m$と$n$が条件Cを満たすことは，$m$と$n$が条件Dを満たすための$$

(3)　$m$と$n$が条件Cを満たすことは，$m$と$n$が条件Aを満たすための$$

(4)　$m$と$n$が条件Dを満たすことは，$m$と$n$が条件Aを満たすための$$

【４】　以下で表される数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

$a_1=0\text{，}$$a_{n+1}=4a_n+n\cdot 2^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^{\left|x\right|}}{x}}$について以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形をかきなさい．変曲点についても明記すること．なお，$f(x)$に関する極限は証明せずに用いてよい．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線のうち，原点を通るものの式を求めなさい．また，接点の座標をすべて求めなさい．