2022　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　$0<x<2$を満たす実数$x$に関する$2$つの条件

$p\text{：}2{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{2x-1}-9{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^x+1<0$

$q\text{：}\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2x+1}}\right)\{\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2x+1}})-{\displaystyle \frac{1}{2}}\}$

$\times \{\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2x+1}})+2\}<0$

について，以下の問いに答えよ．

問１　条件$p$を満たす$x$の範囲を求めよ．

問２　条件$q$を満たす$x$の範囲を求めよ．

問３　命題$p⟹q$の真偽を調べよ．また，命題$p⟹q$の裏を述べ，その真偽を調べよ．

【２】　関数$f(x)=|4x^3-3x|$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$のグラフを座標平面上にかけ．

問２　曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

問３　$0\leqq x\leqq 1$において，$-x+|4x^3-3x|$の最大値および最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【１】　$a\text{，}$$b$は実数とする．実数$x$に対し，

$P(x)={\{{\log }_2(x^2+4)\}}^2$$-2(a+b){\log }_2(x^2+4)$$+2ab+4$

とする．以下の問いに答えよ．

問１　${\log }_2(x^2+4)$の最小値を求めよ．また，$P(x)$の最小値を$a$と$b$を用いて表せ．ただし，いずれの場合もそれを満たす$x$の値を求める必要はない．

問２　$a=b=2$とする．このとき，$P(x)=0$の実数解をすべて求めよ．

問３　方程式$P(x)=0$が相異なる$4$つの実数解をもつとき，点$(a,b)$が存在する領域を座標平面上に図示せよ．

【２】　自然数$n$に対して，整式$f_n(x)$を次の条件によって定める．

$f_1(x)=1\text{，}$$f_2(x)=x\text{，}$$f_n(x)=x{f}_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)$$\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

問１　$f_5(x)$を，$2$つの$2$次式の積の形に因数分解せよ．また，方程式$f_5(x)=0$を解け．

問２　$0<\theta <\pi$のとき，$f_n(2\cos \theta )={\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$であることを証明せよ．

問３　$n\geqq 2$のとき，方程式$f_n(x)=0$のすべての解を，$n$と三角関数を用いて表せ．

【１】　$f(x)=e^{x^2}-1$とする．曲線$y=f(x)$を$y$軸を回転軸として$1$回転させてできる形の容器に，体積$V$の水を入れたときの水面の高さを$h\text{，}$水面の面積を$S$とする．ただし，水面は回転軸と垂直とし，$V=0$のとき$h=0$とする．以下の問いに答えよ．

問１　曲線$y=f(x)$の概形を座標平面上にかけ．

問２　$S$と$V$を，$h$を用いてそれぞれ表せ．

問３　時刻$t$における容器内の水の体積$V$が$V=t$となるように，この容器に水を注ぎ入れる．ただし，$t\geqq 0$とする．$h>0$のとき，水面の上昇する速度を$h$を用いて表せ．

【２】　座標平面上において，$y=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{x}}$$\text{（}2<x\leqq 4\text{）}$で与えられる曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

問１　曲線$C$上の点$(3,{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線の方程式を求めよ．

問２　曲線$C$の概形を座標平面上にかけ．

問３　$a$を$1$以上の実数とする．次の不等式が成り立つことを示せ．

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3+{\displaystyle \frac{1}{a}}}}<{\displaystyle \frac{a+1}{2a}}$