2022　公立はこだて未来大学　総合型選抜MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$a$を実数とする．関数$f(x)=-x^2-2ax+a^2-1$の$0\leqq x\leqq 2$における最大値を$a$を用いて表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問２　$3$つの辺の長さが$5\text{，}$$7\text{，}$$8$である三角形の外接円の半径を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問３　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．さらに，初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n-3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【１】　以下の問いに答えよ．

問４　次の方程式を解け．

${\log }_{(x-2)}(x^3-5x^2+6x)=2$

【１】　以下の問いに答えよ．

問５　次の等式をみたす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)=x^2+x{\displaystyle {\int }_0^1}tf(t)\mathit{dt}$$+{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$

【１】　袋の中に$4$枚のカードが入っている．袋の中の各カードには，$1$から$4$までの相異なる自然数が$1$つ書かれている．この袋からカードを$1$枚取り出し，書かれている数を記録してからカードを袋に戻す試行を$4$回繰り返す．数の記録はカードを取り出した順に行い，$4$回の試行を終えたときに記録された数字のなかで最大のものを$X$とする．以下の問いに答えよ．

問１　取り出す順に記録される$4$個の数の出方は何通りあるか．

問２　確率変数$X$の値が$3$以下のとき，取り出す順に記録される$4$個の数の出方は何通りあるか．

問３　確率変数$X$の値が$k$である確率を$P(X=k)$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$で表し，$p_k=P(X=k)$とする．右の表は$X$の確率分布を示している．表中の$p_k$の値をそれぞれ求めよ．

問４　問３で求めた表を用いて確率変数$X$の期待値を求めよ．