2022　岩手県立大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上に中心$(-3,-2)\text{，}$半径$\sqrt{3}$の円$C$と，直線$l\text{：}y=tx+1$がある．$t$は実数とする．$C$と$l$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わっており，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$t=\sqrt{2}$であるとき，$C$の中心と$l$の距離を求めなさい．

[問２]　$t$のとり得る値の範囲を求めなさい．

[問３]　弦$\mathrm{AB}$の長さが最大となる$t$の値を求めなさい．

[問４]　$a\text{，}$$b$を$t$を用いてそれぞれ表しなさい．

[問５]　弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$となる$t$の値を求めなさい．

【２】　当たりくじ$1$本を含む$10$本のくじがある．このくじを$1$本引いて，当たりくじであるかを確認した後，元に戻す試行を$\mathrm{T}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　試行$\mathrm{T}$を$5$回繰り返したとき，当たりくじを引いた回数がちょうど$2$回である確率を求めなさい．

[問２]　当たりくじを$3$回引くまで試行$\mathrm{T}$を繰り返すとき，ちょうど$n$回目で終わる確率を$p_n$とする．ただし，$n\geqq 3$とする．次の設問に答えなさい．

(1)　$p_n$を$n$を用いて表しなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}$を$n$を用いて表しなさい．

(3)　$p_n$が最大となる$n$をすべて求めなさい．

【３】　$xy$平面において，原点を${\mathrm{A}}_0$とし，$y$軸上の$y>0$の部分に，原点から近い順に点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n\text{，}\cdots$がある．また，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上の$x>0$の部分に点${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{B}}_n\text{，}\cdots$がある．$n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots$に対して，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$が正三角形となるとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　直線${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_1$の方程式を答えなさい．

[問２]　${\mathrm{B}}_1$の座標を答えなさい．

(問３]　${\mathrm{A}}_1$の座標を答えなさい．

[問４]　${\mathrm{B}}_2$の座標を答えなさい．

[問５]　${\mathrm{A}}_n$の座標が$(0,{\displaystyle \frac{2n(n+1)}{3}})$となることを数学的帰納法により証明しなさい．

【４】　次の方程式で表される曲線$C_1\text{，}$$C_2$について考える．

$C_1\text{：}y=x^3+3x^2+x-4$

$C_2\text{：}y={\cos }^{2}x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

$C_1$の接線で原点を通るものを$l_1$とし，$C_2$の接線で$l_1$と直交するものを$l_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$l_1$の方程式を求めなさい．

[問２]　$l_2$の方程式を求めなさい．

[問３]　$C_2\text{，}$$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

[問４]　$C_2$と$l_2$の接点を通り，$x$軸と平行な直線を$l_3$とする．$C_2\text{，}$$x$軸，$y$軸および$l_3$で囲まれた図形の面積を求めなさい．