2022　岩手県立大学　後期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$x^3=1$の虚数解のひとつを$\omega$とするとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$\omega +{\displaystyle \frac{1}{\omega }}$の値を求めなさい．

(2)　${\omega }^7+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^7}}$の値を求めなさい．

(3)　$n$を正の整数とするとき，${\omega }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^n}}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　$x$を正の実数とする．このとき，$(x-{\displaystyle \frac{1}{6}})(6-{\displaystyle \frac{4}{x}})$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問３]　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$はそれぞれ$0$以上の実数である．このとき，

${\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4}}\geqq \sqrt[4]{abcd}$

が成り立つことを示しなさい．

【２】　正の実数$p\text{，}$$q$に対して，座標空間内の原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}$$(p,p,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(p,-p,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,1,q)$を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　座標空間内の点$\mathrm{D}$$(p,0,0)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる実数$s\text{，}$$t$をそれぞれ求めなさい．

[問２]　座標空間内の点$\mathrm{P}$を，実数$u\text{，}$$v$に対して

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$0\leqq u\leqq 1\text{，}$$0\leqq v\leqq 1$

を満たす点とする．このとき，$\mathrm{P}$の動く領域の面積を$p$を用いて表しなさい．

[問３]　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面に，$\mathrm{C}$から垂線を下ろしたとき，この平面と垂線の交点の座標を求めなさい．

[問４]　$p+q=9$であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値と，そのときの$p\text{，}$$q$の値をそれぞれ答えなさい．

【３】　非負整数$n$について，次の関数$f(n)$を考える．

$f(0)=0\text{，}$$f(n)=\{\begin{array}{ll}f\left({\displaystyle \frac{n}{2}}\right)& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\\ f\left({\displaystyle \frac{n-1}{2}}\right)+1& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\end{array}$

以下の問いに答えなさい．

[問１]　$f(1)\text{，}$$f(2)\text{，}$$f(3)$の値をそれぞれ求めなさい．

[問２]　$m=46$とするとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$f(m)$の値を求めなさい．

(2)　$m$を二進法で表しなさい．

[問３]　$f(j)=3$となる非負整数$j$について，$3$番目に小さい値を十進法で答えなさい．

[問４]　正の整数$k$について，$f(2^k-1)=k$となることを証明しなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　次の関数$f(x)$が，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$f(x)\geqq 0$であることを証明しなさい．

$f(x)=x-\sin x$

[問２]　次の関数$g(x)$が，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$g(x)\geqq 0$であることを証明しなさい．

$g(x)=\sin x-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}x$

[問３]　次の不等式を証明しなさい．

$1-{\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-\sin x}\mathit{dx}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{e}})$