2022　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問１　$x\text{，}$$y$は実数とする．次の(1)と(2)の空欄の中に入る最も適切なものを，下の(ア)〜(エ)から選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(1)　$x+y\geqq 0$は$x\text{，}$$y$の少なくとも一方が$0$以上であるための$\text{．}$

(2)　$x+y\geqq 10$は$x\text{，}$$y$の少なくとも一方が$10$以上であるための$\text{．}$

(ア)「必要条件であるが十分条件でない」

(イ)「十分条件であるが必要条件でない」

(ウ)「必要十分条件である」

(エ)「必要条件でも十分条件でもない」

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問２　$2$点$(0,4)\text{，}$$(2,4)$を頂点にもつ正三角形の残りの頂点の座標を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問３　$\theta$が次の値のとき，$\sin \theta \text{，}$$\cos \theta \text{，}$$\tan \theta$の値を求めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{7}{6}}\pi$(2)　$-{\displaystyle \frac{7}{3}}\pi$

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問４　方程式$|x+1|=2x-5$を解け．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問５　次の式を簡単にせよ．

${\log }_{2}9\times {\log }_{3}125\times {\log }_5{2}^{337}$

【２】　$10$個の値からなるデータ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_{10}$があり，そのうちの$6$個の値からなる$\mathrm{A}$グループについては，平均値が$4\text{，}$分散が$7$であり，残りの$4$個の値からなる$\mathrm{B}$グループについては平均値が$9\text{，}$分散が$9$である．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$グループに属する値の総和$a$を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$グループに属する値の総和$b$を求めよ．

(3)　データ全体の平均$\bar{x}$を求めよ．

(4)　$\mathrm{A}$グループに属する値の平方の総和$c$を求めよ．

(5)　$\mathrm{B}$グループに属する値の平方の総和$d$を求めよ．

(6)　データ全体の分散${s_x}^2$を求めよ．

【３】　$k$は定数とし，$k>0$とする．関数$f(x)=x^3-k{x}^2-k^{2}x$について，次の各問に答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$を解け．

(2)　関数$f(x)$の極大値および極小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　次の条件を満たす定数$k$の値の範囲を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^k}f(x)\mathit{dx}\geqq f(k)$

【４】　$36$枚の札の入った箱を用意する．札のそれぞれには，ハート，ダイヤ，スペード，クラブの$4$種のマークと，$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$10$の$9$種の数とのペアが，$1$つずつ重複なく書かれている．

　次の手順(★)に従って座標平面上を移動していく点$\mathrm{P}$を考える．

(★)箱から$1$枚を無作為に取り出し，その札のマークの，ハート，ダイヤ，スペード，クラブに応じて，それぞれ，$x$軸の正の方向，$x$軸の負の方向，$y$軸の正の方向，$y$軸の負の方向へ，札に書かれた数だけ移動する．一度取り出した札は元に戻さない．

　例えば，点$\mathrm{P}$が$(x,y)$にあるとき，箱からハートの$5$の札を取り出したとき，点$\mathrm{P}$は$(x+5,y)$へ移動する．

　点$\mathrm{P}$が$(0,0)$にあり，箱の中に$36$枚の札が入った状態を初期状態という．次の各問はすべて初期状態から考え，移動していくものとする．次の各問に答えよ．

(1)　手順(★)を$2$回繰り返した結果，点$\mathrm{P}$が$x$軸上にある確率を求めよ．

(2)　手順(★)を$2$回繰り返した結果，点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標が共に正である確率を求めよ．

(3)　手順(★)を$2$回繰り返した結果，点$\mathrm{P}$が$x$軸上の正の部分にある確率を求めよ．

(4)　手順(★)を$3$回繰り返した結果，点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標が共に正である確率を求めよ．

(5)　手順(★)を$36$回繰り返したときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【５】　次の定理について，次の各問に答えよ．

(1)　上の定理は何の定理と呼ばれるか．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵OCA}$の面積を$S_2$とする．このとき，次が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}}$

(3)　上の定理を証明せよ．

【６】　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,t)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1,3t)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2t+1,2t-1,t)$がある．ただし，$t$は実数とする．このとき，$\mathrm{▵ABC}$の各辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CN}}$を求めよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CN}}$が直交するとき，$t$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$が二等辺三角形になるとき，$t$の値を求めよ．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$が正三角形になるときはあるか．ある場合は，そのときの$t$の値を求めよ．