2022　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問１　$a>0\text{，}$$b>0$のとき，次の式の最小値を求めよ．

$(a+3b)({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{7}{3b}})$

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問２　不等式$|x-2|>-x-6$を解け．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問３　次の式を因数分解せよ．

$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問４　あるバクテリアは，$1$時間ごとに$1$回分裂して$2$倍の個数に増えていく．このバクテリア$4$個が分裂を開始して$100$万個を超えるのは何時間後か，最小の整数で答えよ．必要なら，${\log }_{10}2=0.301$として計算せよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問５　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }{(2x-1)}^3\mathit{dx}$

【２】　$\mathrm{\angle A}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle B}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle C}=30\mathrm{°}$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{AM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．このとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを$\alpha$として，次の各問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AM}$の長さを$\alpha$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{MP}$の長さを$\alpha$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{MQ}$の長さを$\alpha$を用いて表せ．

(5)　線分$\mathrm{MR}$の長さを$\alpha$を用いて表せ．

(6)　$\cos \mathrm{\angle QMR}$の値を求めよ．

(7)　$\mathrm{\angle QMR}$と$\mathrm{\angle CMR}$の大きさを比較せよ．

【３】　座標平面において不等式$\left|x\right|<2\text{，}$$|x+y+1|\leqq 1$で定まる領域$D$を動く点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$として次の各問に答えよ．

(1)　不等式$\left|x\right|\leqq 2$を解け．

(2)　不等式$|x+y+1|\leqq 1$を$y$について解け．

(3)　$x^2+y^2-6x+8y$を${(x-p)}^2+{(y-q)}^2-r$の形に変形し，定数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を求めよ．

(4)　$x^2+y^2-6x+8y$の最大値と最小値およびそのときの$x\text{，}$$y$の値をそれぞれ求めよ．

【４】　$m=46656$のとき，次の各問に答えよ．

(1)　$m$を素因数分解せよ．

(2)　自然数$n\text{，}$$b$が次の不等式$\text{①}$を満たす．次の(a)〜(d)に答えよ．

$b^n\leqq m<{(b+1)}^n$$\cdots \text{①}$

(a)　$n=1$のとき，$\text{①}$を満たす$b$をすべて求めよ．

(b)　$n=2$のとき，$\text{①}$を満たす$b$をすべて求めよ．

(c)　$n=3$のとき，$\text{①}$を満たす$b$をすべて求めよ．

(d)　$b=3$のとき，$\text{①}$を満たす$n$をすべて求めよ．

【５】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<x<1$とする．線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\mathrm{▵OAQ}$の面積を$S_1$とする．四角形$\mathrm{BPQM}$の面積を$S_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$x$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$x$を用いて表せ．

(3)　$S_1$を$x$を用いて表せ．

(4)　$S_2$を$x$を用いて表せ．

(5)　$S_1:S_2=1:2$となる$x$の値を求めよ．

【６】　下の表はあるバスの乗客の数を，学生，学生以外，座席に座っている人，座席に座っていない人，について調べたものである．この乗客の中から一人を選ぶとき，その乗客が学生であるという事象を$A\text{，}$座席に座っていない人であるという事象を$B$として，次の各問に答えよ．

(1)　確率$P(A)$を求めよ．

(2)　確率$P(B)$を求めよ．

(3)　確率$P(A\cap B)$を求めよ．

(4)　確率$P(A\cup B)$を求めよ．

(5)　確率$P_A(B)$を求めよ．

(6)　確率$P_B(A)$を求めよ．