2022　会津大学　前期MathJax

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．

(1)　不等式$8^x-4^{x+1}+2^x+6>0$を解け．$\text{イ}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．

(2)　整式$P(x)$を$x^2-1$で割った余りが$2x+1\text{，}$$x+2$で割った余りが$-2$のとき，$P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りを求めよ．$\text{ロ}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．

(3)　$2$つの正の整数$a\text{，}$$b$の最大公約数を$\mathrm{GCD}(a,b)\text{，}$最小公倍数を$\mathrm{LCM}(a,b)$と表す．このとき，空欄に適するものを下のAからDのうちから選べ．

(ⅰ)　$\mathrm{GCD}(a,b)=1$であることは，$\mathrm{LCM}(a,b)=ab$であるための$\text{ハ}\text{．}$

(ⅱ)　$ab$が素数であることは，$a=1$もしくは$b=1$であるための$\text{ニ}\text{．}$

A　「必要条件であるが十分条件ではない」

B　「十分条件であるが必要条件ではない」

C　「必要十分条件である」

D　「必要条件でも十分条件でもない」

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log {\left({\displaystyle \frac{n+k}{n}}\right)}^{\frac{1}{n}}$を求めよ．$\text{ホ}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．

(5)　$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x^2)}^n\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，部分積分を用いることにより，$I_{n+1}$と$I_n$の関係式$I_{n+1}=\text{ヘ}{I}_n$が得られる．

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．

(6)　複素数$\alpha$は，${\alpha }^2-\alpha +1=0$を満たし，虚部が正であるとする．このとき，${\displaystyle \sum _{k=0}^{20}}{\alpha }^k$の値は$\text{ト}+\text{チ}i$である．ただし，$i$は虚数単位とし，空欄には実数が入る．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から$\alpha$へ引いた垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=|\overrightarrow{c}|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0$

であるとするとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の面積は$\text{イ}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\text{ロ}\overrightarrow{a}+\text{ハ}\overrightarrow{b}$である．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\text{ニ}$である．

【３】　当たりくじ$3$本を含む$10$本のくじを，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がこの順に$1$本ずつ引く．ただし，引いたくじはもとに戻さない．この操作をくじがなくなるまで繰り返すとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\mathrm{A}$が$3$本の当たりくじを引く確率は$\text{イ}$である．

(2)　$\mathrm{A}$が$2$本，$\mathrm{B}$が$1$本の当たりくじを引く確率は$\text{ロ}$である．

(3)　$\mathrm{A}$が先に$2$本の当たりくじを引き，その後に$\mathrm{B}$が$1$本の当たりくじを引く確率は$\text{ハ}$である．

(4)　最初に当たりくじを引くのが$\mathrm{B}$である確率は$\text{ニ}$である．

(5)　$\mathrm{B}$が少なくとも$1$本の当たりくじを引いたとき，最初に当たりくじを引いたのが$\mathrm{B}$であった確率は$\text{ホ}$である．

【４】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を次で定める．数直線上に，実数$a_n\text{，}$$b_n$に対応する点${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n$をとる．線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$を$3:1$に内分する点を${\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}$線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$を$3:1$に外分する点を${\mathrm{B}}_{n+1}$として，その座標をそれぞれ$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$とする$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）．}$$a_1=0\text{，}$$b_1=1$とするとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$a_2=\text{イ}\text{，}$$b_2=\text{ロ}$である．

(2)　数列$\{c_n\}$を$c_n=b_n-a_n$で定めるとき，$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表すと，$c_{n+1}=\text{ハ}$である．

(3)　$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=\text{ニ}$である．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$の$2$つの変曲点の$x$座標を$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$とする．$C$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}$$x=b$で囲まれた図形を$A$とする．以下の問いに答えよ．（結論に至る過程も記述すること．）

(1)　$A$の面積を求めよ．

(2)　$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【６】　数列$\{a_n\}$が，

$a_1=1-{\displaystyle \frac{1}{2^2}}\text{，}$$a_{n+1}=a_n\cdot (1-{\displaystyle \frac{1}{{(n+2)}^2}})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\log (1-{\displaystyle \frac{1}{{(n+1)}^2}})$を(1)の結果を用いて求めよ．（結論に至る過程も記述すること．）

《注》(2)の式は原典通り