2022　会津大学　推薦MathJax

【１】　以下の空欄をうめよ．

(1)　等式$xy+3x-4y=13$を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めると$\text{イ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(2)　$\sin 105\mathrm{°}+\sin 15\mathrm{°}$の値を求めると$\text{ロ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(3)　等式$f(x)=x^2+3{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$を満たす$2$次関数$f(x)$は$f(x)=\text{ハ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(4)　$2^n<3^{20}<2^{n+1}$を満たす自然数$n$は$\text{ニ}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(5)　$0\leqq \theta <2\pi$とする．方程式$\cos 3\theta +2\cos 2\theta -1=0$の解のうち，$\cos \theta \geqq 0$となるものは$\theta =\text{ホ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(6)　関数$f(x)=4\cdot 3^{3x}+3^{2x+2}-4\cdot 3^{x+1}$は，$x=\text{へ}$のとき最小値$\text{ト}$をとる．

【２】　$1$つの袋に赤玉$1$個，青玉$2$個，白玉$3$個が入っている．ここから$3$個の玉を同時に取り出す．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　取り出した玉の色がすべて異なる確率は$\text{イ}$である．

(2)　取り出した玉の色がすべて同じである確率は$\text{ロ}$である．

(3)　取り出した玉の色がちょうど$2$色である確率は$\text{ハ}$である．

(4)　取り出した玉に赤玉が含まれていたとき，取り出した$3$個の玉の色がちょうど$2$色である確率は$\text{ニ}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{7}{3}}x+2$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の異なる$2$点$\mathrm{P}$$(s,f(s))\text{，}$$\mathrm{Q}$$(t,f(t))$における$C$の接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とする．ただし，$s<t$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$l$の傾きを$s$を用いて表すと$\text{イ}$である．

(2)　$l$と$m$が平行であり，かつ線分$\mathrm{PQ}$の傾きが$-1$であるとする．このとき，$s=\text{ロ}\text{，}$$t=\text{ハ}$である．また，$l$と$C$の共有点のうち，$\mathrm{P}$でないものの座標は$\text{ニ}$である．

【４】　平面上に三角形$\mathrm{OAB}$がある．線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\mathrm{AQ}:\mathrm{QM}=t:1-t$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\text{イ}$である．

(2)　$\mathrm{OQ}:\mathrm{QP}=s:1-s$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\text{ロ}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\text{ハ}$である．