2022　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(1)　$a\text{，}$$b$は実数，$n$は自然数とする．次の各命題の真偽を答えよ．

命題$\mathrm{A}$$\text{「}ab=0⟹a=0\text{」}$

命題$\mathrm{B}$$\text{「}a=0$かつ$b=0⟺a^2+b^2=0\text{」}$

命題$\mathrm{C}$$\text{「}n$が素数$⟹n$が奇数」

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　次の$3$つの数を小さいものから順に並べよ．

$4^{-\frac{1}{4}}\text{，}$$\sin 130\mathrm{°}\text{，}$$\cos 310\mathrm{°}$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　方程式$13x+7y=325$を満たす自然数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(4)　$xy$平面において，点$\mathrm{A}$$(-3,1)$を通り，$\overrightarrow{n}=(5,2)$に垂直な直線の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(5)　$xy$平面において，放物線$y=x^2-x$と直線$y=x+3$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^2-2x^2+x+1$を考える．次の各問に答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，$f^{\prime }(x)=0$となる$x$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，グラフと$x$軸との共有点の座標は求めなくてもよい．

(4)　方程式$x^3-2x^2+x+1-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　気候変動対策として，ある国の政府は温室効果ガスの排出量を基準となる年の排出量に対して$54\mathrm{\%}$以下にする目標を定めた．基準となる年以降，毎年，前年の排出量の$2\mathrm{\%}$を削減し続けた場合，目標を初めて達成するのは基準となる年の何年後か．答えは自然数で求めよ．ただし，基準となる年の排出量は正であり，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451$とする．

【４】　赤，青，黄の$3$色の玉がある．最初，袋の中に赤玉$2$個と黄玉$3$個の計$5$個の玉が入っている．この状態からはじめて，次の操作(＊)を$n$回おこなう$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）．}$

(＊)　袋から玉を$1$個取り出して玉の色を確認し，

(A)　赤玉ならば，青玉に交換して袋に戻し，

(B)　青玉ならば，赤玉に交換して袋に戻し，

(C)　黄玉ならば，黄玉をそのまま袋に戻す．

　$n$回目の操作を終えた時点で，袋の中の赤玉の個数が$2$個である確率を$a_n\text{，}$袋の中の青玉の個数が$2$個である確率を$b_n\text{，}$袋の中の赤玉と青玉の個数がそれぞれ$1$個である確率を$c_n$とおく．次の各問に答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1$を求めよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$c_2$を求めよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(4)　$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ．さらに$c_n$を求めよ．

(5)　$d_n=a_n-b_n$とする．$d_n$を求めよ．