2022　高崎経済大学　中期MathJax

【１】　$a$を実数の定数とする．数直線上の$2$つの集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{x|x^2-2ax+a^2-9\geqq 0\}$

$B=\{x|2{\mathrm{1og}}_4(x-1)<{\log }_4(2x-5)+1\}$

とするとき，次の各問に答えよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(1)　$x$についての$2$次不等式$x^2-2ax+a^2-9\geqq 0$を解け．

(2)　不等式$2{\log }_4(x-1)<{\log }_4(2x-5)+1$を解け．

(3)　$A\cap B=\varnothing$となるような$a$の値の範囲を求めよ．ただし，$\varnothing$は空集合を表す．

(4)　$A\cap B$が整数を$1$つだけ含むような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$a$と$b$を$0<a<b$を満たす$2$つの整数とする．下の表は，$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の小テストを受けた$7$人の生徒$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$の得点をまとめたものである．科目$\mathrm{X}$の得点の平均値を$\bar{x}\text{，}$分散を${s_x}^2\text{，}$科目$\mathrm{Y}$の得点の平均値を$\bar{y}\text{，}$分散を${s_y}^2$とする．$a+b=7$であるとき，次の各問に答えよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(1)　$\bar{x}$と${s_x}^2$を求めよ．

(2)　$\bar{y}$を求めよ．

(3)　${s_x}^2={s_y}^2$が成り立つとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の共分散$S_{xy}\text{，}$および科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r$を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$2$つの放物線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$と$C_2\text{：}y=-x^2+x-{\displaystyle \frac{11}{12}}$がある．次の各問に答えよ．

(1)　$C_1$上の点$(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2)$における接線の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$つある．この$2$つの直線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた$2$つの直線の交点の座標を求めよ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(4)　(2)で求めた$2$つの直線と$C_1$が囲む部分の面積$S$を求めよ．

【４】　次の各問に答えよ．

(1)　$-\pi \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，方程式$2\cos (2\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=0$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．

(2)　$y=2\cos (2\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$のグラフをかけ．ただし，計算等の過程は記入しないこと．

(3)　$y=2\cos (2\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$のグラフは，$y=2\sin (2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のグラフを$\theta$軸方向に$\alpha$だけ平行移動したものである．$-\pi \leqq \alpha \leqq 2\pi$となる$\alpha$の値をすべて求めよ．

【５】　座標空間に原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$$(1,3,-2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,2,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,1,0)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさの最小値を求めよ．また，そのときの実数$s\text{，}$$t$の値を求めよ．