2022　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　$n$は$2$以上の自然数とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$r=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n-1$のとき，次の等式が成り立つことを示しなさい．

${}_{n+1}C_{r+1}={}_{n}C_r+{}_{n-1}C_r$$+\cdots +{}_{r+1}C_r+{}_{r}C_r$

ただし，${}_{n}C_r={}_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-1}C_r$が成り立つことは断りなしに用いてよい．

(2)　$f(x)=(1+x)+{(1+x)}^2+{(1+x)}^3$$+\cdots +{(1+x)}^{10}$の$x^3$の係数を求めなさい．

(3)　$g_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(2k+1){(1+x)}^k$の$x^r$$\text{（}r=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n-1\text{）}$の係数は$(2n+1){}_{n+1}C_{r+1}-2{}_{n+1}C_{r+2}$であることを，$n$についての数学的帰納法で示しなさい．

【２】　座標空間内において，中心が点$\mathrm{C}$$(3,0,0)\text{，}$半径が$3$の球面$S$を考える．$S$上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,b,1)$$\text{（}b>0\text{）}$をとるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$b$の値を求めなさい．

(2)　$\mathrm{\angle AOB}$の大きさを求めなさい．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を含む平面と球面$S$が交わってできる円の中心$\mathrm{D}$の座標を求めなさい．

(4)　(3)の点$\mathrm{D}$に対して，$\mathrm{▵ABD}$の面積を求めなさい．

【３】　座標平面上に放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$がある．$b<a$とし，$C$上に$2$点$\mathrm{A}$$(a,{\displaystyle \frac{a^2}{2}})\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,{\displaystyle \frac{b^2}{2}})$をとる．また，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$l_{\mathrm{A}}\text{，}$$l_{\mathrm{B}}$とし，$2$直線$l_{\mathrm{A}}$と$l_{\mathrm{B}}$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　交点$\mathrm{R}$の座標を$a$と$b$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABR}$の面積$S$を$a$と$b$を用いて表しなさい．

(3)　放物線$C$と$2$直線$l_{\mathrm{A}}\text{，}$$l_{\mathrm{B}}$で囲まれた図形の面積$T$を$a$と$b$を用いて表しなさい．

(4)　$l_{\mathrm{A}}$と$l_{\mathrm{B}}$が直交するとき，(3)の$T$の最小値を求めなさい．また，そのときの$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

【４】　関数

$f(x)=-{\cos }^{4}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{\cos }^{2}x-\cos x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

について次の問いに答えなさい．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で，$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の値をすべて求めなさい．

(2)　関数$y=f(x)$の増減を$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で調べて，曲線$y=f(x)$のグラフの概形を$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲でかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(3)　曲線$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq 2\pi$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．

【５】　$\theta$は$0\leqq \theta \leqq 2\pi$を満たす実数とし，$xy$平面上の$2$点

$(1,2\cos 2\theta +16\cos \theta +14)\text{，}$$(-1,2\cos 2\theta +8\cos \theta +6)$

を通る直線を$l_{\theta }$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$t=2\cos \theta$とおくとき，$l_{\theta }$の傾き，$y$切片をそれぞれ$t$を用いて表しなさい．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq 2\pi$を動くとき，直線$l_{\theta }$が通過する領域を$xy$平面上に図示しなさい．