2022　東京都立大　前期MathJax

【１】　$a$を$0<a<1$をみたす実数とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{6}}{\log }_a(2a)+{\log }_a\sqrt[3]{7}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_a\sqrt[3]{98}$の値を求めなさい．

【１】　$a$を$0<a<1$をみたす実数とする．以下の問いに答えなさい．

(2)　不等式$a^{2x+1}+a\leqq a^{x-1}+a^{x+3}$をみたす整数$x$をすべて求めなさい．

【１】　$a$を$0<a<1$をみたす実数とする．以下の問いに答えなさい．

(3)　不等式$3{\log }_{a^3}(2x+4)\leqq 2{\log }_a(4-x)-{\log }_{a}4$をみたす整数$x$をすべて求めなさい．

【２】　ディスプレイに$1$秒ごとに$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$のどちらか$1$つの文字を表示するプログラムがあり，$1$秒ごとに次の動作を行うように設定されている．

●　$\mathrm{A}$が表示されているとき，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$\mathrm{B}$に表示を切り替える．

●　$\mathrm{A}$が表示されているとき，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$\mathrm{A}$をそのまま表示する．

●　$\mathrm{B}$が表示されているとき，確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$で$\mathrm{A}$に表示を切り替える．

●　$\mathrm{B}$が表示されているとき，確率${\displaystyle \frac{3}{4}}$で$\mathrm{B}$をそのまま表示する．

　$\mathrm{A}$が表示されてから$n$秒後に$\mathrm{A}$が表示される確率を$a_n$とし，$\mathrm{A}$が表示されてから$n$秒後に$\mathrm{B}$が表示される確率を$b_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$b_3$を求めなさい．

(2)　$c_n=a_n+b_n\text{，}$$d_n=2a_n-b_n$とするとき，$c_{n+1}\text{，}$$d_{n+1}$を$c_n\text{，}$$d_n$を用いて表しなさい．

(3)　$a_n$を$n$の式で表しなさい．

【３】　$f(x)=-x^2-2x+4\left|x\right|$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めなさい．

(2)　座標平面上の点$(0,9)$から曲線$y=f(x)$に引いた接線の方程式をすべて求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$と(2)で求めたすべての接線で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【４】　$C$を座標平面上の円$x^2+y^2=1$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　点$(a,b)$を中心とし，$C$に外接する円の半径を$a\text{，}$$b$の式で表しなさい．

(2)　$C$に外接し，直線$y=3$に接する円の中心の軌跡の方程式を求めなさい．

(3)　(2)で求めた軌跡の方程式を$y=f(x)$とする．点$(x,y)$が不等式$y\leqq f(x)$の表す座標平面上の領域を動くとき，$x+2y$の最大値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めなさい．

【１】　$f(x)=2{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}$とし，$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす実数とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と$x$軸と$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}\sin x$の$0<x<\pi$における共有点の$x$座標を$a(\theta )$とする．$a(\theta )$を$\theta$の式で表しなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq a(\theta ))$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq a(\theta ))$と$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(\theta )$とする．$3S(\theta )=S$が成り立つとき$\theta$の値を求めなさい．

【２】　$a$を正の実数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(2a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,a,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に直交する単位ベクトルをすべて求めなさい．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が(1)で求めた単位ベクトルと平行になるような実数$s\text{，}$$t$を求めなさい．

(3)　$\mathrm{O}$を中心とする球面が平面$\alpha$と点$\mathrm{P}$で接しているとき，$\mathrm{P}$の座標と球面の半径$r(a)$を求めなさい．

(4)　$a$が正の実数全体を動くとき，${\displaystyle \frac{{r(a)}^2}{a}}$の最大値とそのときの$a$の値を求めなさい．

【３】　$a$を実数とし，$f(x)=x^3-4x^2+(a-2)x-2(a-6)$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$と表すとき，$f^{\prime }(4)=f(4)$をみたす$a$の値を求めなさい．

(2)　方程式$f(x)=0$は$a$の値に無関係な正の実数解をもつことを示し，その実数解を求めなさい．

(3)　方程式$f(x)=0$が$2$重解をもつときの$a$の値をすべて求めなさい．それぞれの$a$の値に対して，方程式$f(x)=0$のすべての解を求めなさい．

【１】　$\log$を自然対数とし，数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log k$

と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$以上の自然数$k$に対して，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle {\int }_{k-1}^k}\log x\mathit{dx}<\log k<{\displaystyle {\int }_k^{k+1}}\log x\mathit{dx}$

(2)　$2$以上の自然数$n$に対して，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle {\int }_1^n}\log x\mathit{dx}<a_n<{\displaystyle {\int }_2^{n+1}}\log x\mathit{dx}$

(3)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{n\log n}}=1$

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする複素数平面上に$2$点$\mathrm{A}(\sqrt{3})\text{，}$$\mathrm{B}(\sqrt{3}+i)$がある．点$\mathrm{T}$を実軸上にとり，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{U}$を直線$\mathrm{AB}$上にとる．点$\mathrm{U}$を点$\mathrm{T}$のまわりに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を$\mathrm{V}$とする．点$\mathrm{V}$が直線$\mathrm{OB}$上にあるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{T}$を表す実数を$t$とする．点$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{V}$を表す複素数をそれぞれ$\sqrt{3}+iu\text{，}$$(\sqrt{3}+i)v$とするとき，実数$u\text{，}$$v$を$t$の式で表しなさい．

(2)　点$\mathrm{T}$が線分$\mathrm{OA}$上を動くとき$\mathrm{▵TUV}$の面積の最大値・最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．ただし，線分$\mathrm{OA}$は両端を含むものとする．

【３】　自然数$n$に対して，$m^2-m$が$n$以下となる自然数$m$の個数を$a_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_{20}$を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=2}^{19}}{a}_k$を求めなさい．

(3)　$6a_n=n$をみたす自然数$n$を求めなさい．