2022　東京都立大　後期MathJax

【１】　$t$を正の実数とし，$0$以上の整数$n$に対して

$a_n={\displaystyle {\int }_0^t}{x}^{2n+1}{e}^{-x^2}\mathit{dx}$

と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$e^{-x^2}$の導関数を求めなさい．

(2)　$n\geqq 1$のとき，次の等式が成り立つことを示しなさい．

$a_n=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^{2n}{e}^{-t^2}+n{a}_{n-1}$

(3)　$n\geqq 1$のとき，次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．

$a_n=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-t^2}{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}{!}^{2n-2k}+{\displaystyle \frac{1}{2}}n!$

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$z+{\displaystyle \frac{16}{z}}$が実数となるような$0$でない複素数$z$が描く図形を複素数平面上に図示しなさい．

(2)　(1)さらに$2\leqq z+{\displaystyle \frac{16}{z}}\leqq 10$となるような$0$でない複素数$z$が描く図形を複素数平面上に図示しなさい．

【３】　ある細胞の増殖モデルでは$1$個の細胞が発生すると$1$日後に次のように変化する．

・確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で分裂して$2$個の同じ細胞が発生する．

・確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で死滅する．

$1$個の細胞が発生した直後に観察を開始するとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$日後に細胞が$2$個になっている確率を求めなさい．

(2)　$3$日後に細胞が$2$個になっている確率を求めなさい．

(3)　$n$日後に細胞が$2^n$個になっている確率を$p_n$とする．$p_{n+1}$を$p_n$と$n$の式で表しなさい．

(4)　(3)で定めた$p_n$に対して極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log p_n}{2^n}}$$\text{（}\log$は自然対数）を求めなさい．

【４】　$b$を実数とする．座標平面上の$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=x^3-x\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-{\displaystyle \frac{b}{4}}$

に対して，以下の問いに答えなさい．

(1)　点$(t,t^3-t)$における$C_1$の接線の方程式を求めなさい．

(2)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の本数を求めなさい．