2022　横浜市立大　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　自然数の集合

$\mathrm{A}=\{n^3+1|n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}1000\}$

を考えるときに，この集合$\mathrm{A}$の要素であり，かつ$3$の倍数となるものの個数を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　複素数$\alpha$を$\alpha ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とおくとき，${\alpha }^{18}+{\alpha }^6+{\alpha }^4+{\alpha }^2$の値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　円$x^2+y^2-2x-4y=0$の中心を$\mathrm{C}$とおき，この円と直線$y=x+2$の$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とおくとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

【１】　　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　何人かで次のゲームを行うことにしました．$53$枚のカードのうち，$1$枚だけ「あたり」と書かれたカードを用意します．このカードをよく混ぜて，$1$つの山に重ねて置きます．次に，参加者各自が$1\text{〜}$$6$の目が出る公平なサイコロを$1$回だけ投げ，カードを見ないようにして出た目の数だけ山の上から順にとっていきます．なお，一度とったカードは再度山にはもどさないこととします．このとき，手にしたカードの中に「あたり」のカードが入っていたら，そのカードをとった参加者を勝者と決定してゲームは終了します．また，いずれの参加者も「あたり」のカードをとることができなければ，このゲームは引き分けで終了するものとします．

　参加者が$6$人のとき，このゲームが引き分けで終了する確率を求めなさい．

【２】　$0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$の範囲で$\theta$についての関数$f(\theta )=\cos 2\theta -2\sin \theta$を考えるとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$t=\sin \theta$とおくとき，$f(\theta )$を$t$で表しなさい．

(2)　$f(\theta )$の最大値を求めなさい．また，そのときの$\theta$の値をすべて求めなさい．

(3)　$C$を整数とします．$\theta$についての方程式$f(\theta )+C=0$が異なる$2$つの解をもつような$C$の値をすべて求めなさい．

【３】　数列$\{a_n\}$について，初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$は${(a_n+\alpha )}^2$の形で表すことができます．ただし，$\alpha >0$です．また，この数列について，初項が$a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}$であり，すべての$n$に対して$\left|a_n\right|<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とします．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$\alpha$を求めなさい．

(2)　$a_n>0$のとき，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表しなさい．

(3)　$S_n$を求めなさい．

【４】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　不定積分を求めなさい．

(2)　関数$f(x)$が常に$f(-x)=-f(x)$という関係式をみたすときに，定積分

${\displaystyle {\int }_{-a}^a}f(t)\mathit{dt}$

の値を求めなさい．ただし，$a>0$とします．

(3)　関数$g(x)$に対して，定積分

${\displaystyle {\int }_{-a}^a}{\displaystyle \frac{g(t)-g(-t)}{2}}\mathit{dt}$

の値を求めなさい．ただし，$a>0$とします．

(4)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{t\sin t}{1+{\pi }^{{\sin }^{3}t}}}\mathit{dt}$

の値を求めなさい．

【５】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　連続型の確率変数$X$の取り得る値の範囲が$1\leqq X\leqq 3$であり，その確率密度関数が

$f(x)=1-|x-2|$

と表されています．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(ア)　$X$の平均$E(X)$と分散$V(X)$を求めなさい．

(イ)　確率が$P(2-c\leqq X\leqq 2+c)=0.5$となる実数$c$を求めなさい．

【５】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　$n$を自然数とします．いま，箱の中に赤玉と白玉が$1:1$の割合で入っています．この箱から無作為に玉を$1$個取り出し，その玉を箱にもどすという試行を$n$回繰り返すとき，$Y_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$を$i$回目の試行の結果が赤玉である場合に$1$を，白玉である場合に$0$をとる確率変数とします．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(ウ)　確率変数$T=1\times Y_1+2\times Y_2+\cdots +n\times Y_n$について，$T$の平均$E(T)$と標準偏差$\sigma (T)$を$n$の式で表しなさい．

(エ)　上記の(ウ)において，$n=24$とします．$T$が近似的に正規分布に従うことを用いて，$T\geqq 220$となる確率を求めなさい．その際，次の正規分布表を用いなさい．