2022　三条市立大　前期MathJax

【１】　図のようなカテナリー（懸垂線）を表す方程式$y={\displaystyle \frac{1}{2a}}(e^{ax}+e^{-ax})$$\text{（}a>0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(1)　範囲$0\leqq x\leqq x_0$に対応する曲線の長さ$L$を求めよ．

(2)　$L=c$となるときの$x_0$を求めよ．

【２】　半径$r$の円筒を図のように水平面に対してある角度で斜めに切ることを考える．必要に応じて図中の記号を用い，次の問に答えよ．

(1)　斜めに切った円筒を円周方向に展開したとき，展開面上の切り口は正弦曲線になることを示せ．ここに，斜めの切断面と円筒の水平断面の円との交線$\mathrm{ST}$は円の直径と一致している．また，円筒の母線方向に$y$軸をとり，それと直角となるように円筒面上に$x$軸をとるものとする．$\theta$は水平な円断面における中心角である．点$\mathrm{P}$は水平断面に対する切断面の頂点であり，$\mathrm{PQ}=a$とする．

(2)　切断平面$S_f$上の切断面の形状はどのような図形になるか，方程式を導いて説明せよ．

(3)　切断面の面積を求めよ．

【３】　次式のように，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$をそれぞれ$x$と$y$の係数にもつ直線を表す方程式がある．ここに，$x$は独立変数，$y$は従属変数である．

$4x+11x+18x+25x+\cdots +a_{n}x$$+5y+8y+11y+14y+\cdots +b_{n}y=n^2$

このとき，次の空欄を埋めよ．

(1)　一般項$a_n$および$b_n$は，それぞれ$a_n=\text{ア}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{），}$$b_n=\text{イ}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$である．

(2)　与えられた方程式を和の記号を用いると$\text{ウ}$のように表すことができる．

(3)　式をできるだけ簡単にしたとき，この直線の傾きは$\text{エ}\text{，}$$y$切片は$\text{オ}$で表される．

(4)　$n\to \infty$としたときの直線の方程式は$\text{カ}$で表される．

【４】　$x‐y$平面上に$N$個の点${\mathrm{P}}_1$$(x_1,y_1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(x_2,y_2)\text{，}$${\mathrm{P}}_3$$(x_3,y_3)\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$$(x_n,y_n)$および原点を通る傾き$a$の直線$l$がある．このとき，次の問に答えよ．ただし，すべての点が$y$軸上にあることはない．

(1)　直線$l$と各点の$y$方向の距離（各点から直線$l$へ$y$軸と平行に引いた線分の長さ）をそれぞれ$2$乗し，それらの和$S_n$を和の記号を用いて表せ．

(2)　$S_n$が最小となる直線$l$の傾き$a$を求めよ．

(3)　${\mathrm{P}}_1$$(2,2)\text{，}$${\mathrm{P}}_1$$(4,6)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(6,4)$の$3$点があるとき，この直線$l$の方程式を求めよ．また，各点の位置と直線のグラフを所定の方眼紙を用いて描け．なお，答えに分数があるときは既約分数で答えよ．