2022　富山県立大学　前期工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$進法で表された数${111010}_{(2)}$と${101}_{(2)}$について，掛け算${111010}_{(2)}\times {101}_{(2)}$の結果を$2$進法で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　条件$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=5a_n+3$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2{\log }_{e}2}}x|e^x-2|\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．ただし，必要であれば次の命題(A)，(B)が成り立つことを用いてよい．

(A)　$x\text{，}$$y$を有理数とする．このとき，$x+y\text{，}$$x-y\text{，}$$xy$は有理数である．さらに，$y\ne 0$ならば，${\displaystyle \frac{x}{y}}$は有理数である．

(B)　$\sqrt{2}$は無理数である．

(1)　$r$を正の実数とするとき，$0<\sqrt{r^2+1}-r<1$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$a\text{，}$$b$を有理数とし，$a\ne b$とする．さらに，$c=a+(b-a)(\sqrt{2}-1)$とする．このとき，$c$は無理数であることを背理法を用いて証明せよ．

(3)　$a\text{，}$$b$を有理数とし，$a<b$とする．このとき，$a$と$b$の間には無理数が必ず存在することを証明せよ．

【３】　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$とする．曲線$y={(x+2)}^2$を$C_1$とし，曲線$y={(x-\cos \theta )}^2+\sin \theta$を$C_2$とする．また，$C_1$および$C_2$の両方に接する直線の傾きを$a$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$上の点$(s,{(s+2)}^2)$における$C_1$の接線を$l$とし，$C_2$上の点$(t,{(t-\cos \theta )}^2+\sin \theta )$における$C_2$の接線を$m$とするとき，$l$と$m$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$a$を$\theta$の式で表せ．

(3)　$a$の最大値およびそれを与える$\theta$の値を求めよ．また，$a$の最小値およびそれを与える$\theta$の値を求めよ．

【４】　曲線$y=\sin x$$\text{（}0<x<2\pi \text{）}$を$C_1$とし，曲線$y=\cos x$$\text{（}0<x<2\pi \text{）}$を$C_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標をすべて求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の$y\geqq 0$にある部分を$D$とする．このとき，$D$の面積$S$の値を求めよ．

(3)　(2)で定めた$D$を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$の値を求めよ．