2022　公立小松大　前期MathJax

【１】　$1$個のさいころを続けて$n$回投げて，出た目を順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$とし，それらすべての積$x_1{x}_2\cdots x_n$を$X_n$とする．$X_n$が奇数となる確率を$p_n\text{，}$$X_n$が$5$で割り切れる確率を$q_n\text{，}$$X_n$が$4$で割り切れる確率を$r_n$とする．ただし，$n\geqq 2$とする．

(1)　$p_2\text{，}$$q_2\text{，}$$r_2\text{，}$$r_3$を求めよ．

(2)　$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n$を求めよ．

(3)　$q_n\geqq 0.9999$をみたす最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$3$点$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,\sqrt{2})$について，次の問いに答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$から$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線に下ろした垂線を$\mathrm{OD}$とする．点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ODH}$の面積を求めよ．

【３】　無限等比級数

$(x-1)-(x-1)x^2+(x-1)x^4-(x-1)x^6+\cdots$

が収束するとき，その和を$S(x)$とする．ただし，$x$は実数とする．

(1)　この無限等比級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ．また，そのときの和$S(x)$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$S(x)$について，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}S(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　$3$以上の自然数$n$に対し，関数

$f_n(x)={(1+x^{2n})}^{\frac{1}{n}}$$\text{（}-\infty <x<\infty \text{）}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$\log f_n(x)$を微分せよ．ただし，対数は自然対数とする．

(2)　${\displaystyle \frac{f_n(x)}{\sqrt{1+x^4}}}$の最小値を求めよ．

(3)　(2)で求めた最小値を$M_n$とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }{M}_n$を求めよ．