2022　公立諏訪東京理科大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上の曲線$y=x{e}^{-x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　変曲点の$x$座標をすべて求めよ．

(2)　$k$を実数とする．この曲線と直線$y=kx$が異なる$3$点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)で求めた$k$の範囲において，この曲線と直線$y=kx$とで囲まれた$x\geqq 0$の部分の面積を求めよ．

【２】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円が，放物線$y^2=x-1$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わるとし，$\mathrm{\angle POQ}=\theta$とする．ただし，$0<\theta <\pi$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とするとき，$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$を$x$のみの式で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とするとき，$\cos \theta$を$x$のみの式で表せ．

(3)　$\cos \theta$を最小にする$r$の値を求めよ．

(4)　極限値$\underset{r\to \infty }{\lim }\cos \theta$を求めよ．

【３】　ある製品には，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$どちらか$1$つの部品が使われている．製造過程のミスにより，$\mathrm{B}$には$10\mathrm{\%}$の割合で不良品が含まれていることがわかった．ただし，$\mathrm{A}$には不良品は含まれていない．製造された製品のうち，$\mathrm{A}$を使った製品が$90\mathrm{\%}\text{，}$$\mathrm{B}$を使った製品が$10\mathrm{\%}$である．完成後の製品は，外から見ても，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$どちらの部品が使われているかはわからない．一方，製品内の$\mathrm{B}$の有無を検査する装置$\mathrm{X}$について，以下の特徴がある．

1．$\mathrm{A}$を使った製品を$\mathrm{X}$で検査すると，$90\mathrm{\%}$の確率で$\mathrm{B}$は使われていないと判定する．

2．正常な$\mathrm{B}$を使った製品を$\mathrm{X}$で検査すると，$90\mathrm{\%}$の確率で$\mathrm{B}$が使われていると判定する．

3．不良品を使った製品を$\mathrm{X}$で検査すると，$95\mathrm{\%}$の確率で$\mathrm{B}$が使われていると判定する．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　ある製品に，正常な$\mathrm{B}$が使われている確率，不良品が使われている確率をそれぞれ求めよ．

(2)　ある製品を$\mathrm{X}$によって検査したとき，$\mathrm{B}$が使われていると判定される確率を求めよ．

(3)　ある製品を$\mathrm{X}$によって検査したとき，$\mathrm{B}$が使われていると判定された．このとき，不良品が使われている確率を求めよ．

(4)　ある製品を$\mathrm{X}$によって検査したとき，$\mathrm{B}$が使われていると判定された．このとき，実際は$\mathrm{A}$が使われている確率を求めよ．

(5)　ある製品に不良品が使われていないとき，$\mathrm{X}$による検査で$\mathrm{B}$は使われていないと判定される確率を求めよ．

【４】　$xy$平面上に$n$個の点${\mathrm{P}}_1$$(x_1,y_1)\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$$(x_n,y_n)$があり，原点を通る直線$l\text{：}ax+by=0$を考える．ただし，$a^2+b^2=1\text{，}$$a\geqq 0$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$に直交し，点${\mathrm{P}}_1$$(x_1,y_1)$を通る直線を$m$とする．このとき，直線$l$と$m$との交点${\mathrm{Q}}_1$の$x$座標を求めよ．ただし，点${\mathrm{P}}_1$が直線$l$上にある場合は，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{Q}}_1$は同じ点であるものとする．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$を定数とし，$\alpha >0\text{，}$$-\pi <\beta \leqq \pi$とする．このとき，次の式を$\alpha \sin (2\theta +\beta )$の形で表せ．

$-\sqrt{3}{\cos }^2\theta +6\sin \theta \cos \theta +\sqrt{3}{\sin }^2\theta$

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k^2=5\sqrt{3}\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k{y}_k=3\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{y}_k^2=7\sqrt{3}$とする．$xy$平面上の$n$個の点${\mathrm{P}}_1$$(x_1,y_1)\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$$(x_n,y_n)$と原点を通る直線$l\text{：}ax+by=0$との距離をそれぞれ$d_1\text{，}\cdots \text{，}$$d_n$とおく．ただし，点${\mathrm{P}}_k$$(x_k,y_k)$が直線$l$上にある場合は，${\mathrm{P}}_k$と直線$l$との距離は$0$であるものとする．また，直線$l$を$a=\cos \theta \text{，}$$b=\sin \theta$を用いて表し，$\theta$の範囲は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{d}_k^2$を最小にする$\theta$を求めよ．

(4)　(3)と同様にして，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k^2=5\sqrt{3}\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k{y}_k=3\text{，}$${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{y}_k^2=7\sqrt{3}$とする．各点${\mathrm{P}}_k$$(x_k,y_k)$から直線$l\text{：}ax+by=0$に垂線を下したときの交点を${\mathrm{Q}}_k$とし，各${\mathrm{Q}}_k$と原点との距離を$w_k$とする．ただし，点${\mathrm{P}}_k$$(x_k,y_k)$が直線$l$上にある場合は，${\mathrm{P}}_k$と${\mathrm{Q}}_k$は同じ点であるものとする．また，交点${\mathrm{Q}}_k$が原点と一致する場合は，点${\mathrm{Q}}_k$と原点との距離は$0$であるものとする．このとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{w}_k^2$の最大値を求めよ．