2022　公立諏訪東京理科大学　中期MathJax

【１】　複素数$\alpha =i\text{，}$$\beta =-2\text{，}$$\gamma =x+3i$が複素数平面上で表す点をそれぞれ$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とし，$x$は実数とする．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が一直線上にあるときの実数$x$の値を求めよ．

(2)　$2$直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$が垂直になるときの実数$x$の値を求めよ．

(3)　$2$直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$が垂直になるときの線分$\mathrm{AC}$の長さを$r$とする．方程式$|z-\alpha |=r$を満たす複素数$z$の中で，複素数平面上の点$\mathrm{C}$とは異なる点で，直線$\mathrm{AC}$上にある複素数を求めよ．

(4)　$2$直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$が垂直になるときの線分$\mathrm{AC}$の長さを$r$とする．方程式$|z-\alpha |=r$を満たす点$z$全体に対して，$w=i(z-1)$としたとき，点$w$は複素数平面上でどのような図形を描くか．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{2x-\sin 2x}{x^2}}$$\text{（}0<x\leqq \pi \text{），}$$g(x)=\sin x-x\cos x$$\text{（}0<x\leqq \pi \text{）}$で関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$0<x\leqq \pi$における関数$y=g(x)$の最大値を求めよ．

(3)　導関数$f^{\prime }(x)$を$x\text{，}$$\sin x\text{，}$$\cos x$を用いて表せ．

(4)　導関数$f^{\prime }(x)$を$x\text{，}$$\cos x\text{，}$$g(x)$を用いて表せ．

(5)　$0<x\leqq \pi$における関数$y=f(x)$の最大値を求めよ．

【３】　中身の見えない$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$には，白玉が$4$個，黒玉，赤玉，青玉がそれぞれ$2$個ずつ入っている．また，$\mathrm{B}$には，白玉，黒玉，赤玉，青玉がそれぞれ$2$個ずつ入っている．以下の(1)，(2)，(4)では，コインを投げて表が出たら箱$\mathrm{A}$を選び，裏が出たら箱$\mathrm{B}$を選んで，その選んだ箱の中から玉を取り出すことを考える．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，コインの表と裏が出る確率は等しいものとする．

(1)　コインを投げて箱を選び，選んだ箱から玉を$1$個取り出すとき，その玉が白玉である確率を求めよ．

(2)　コインを投げて箱を選び，選んだ箱から玉を$2$個取り出すとき，その$2$個の玉の色が同じである確率を求めよ．

(3)　コインを投げずに箱$\mathrm{A}$を選び，箱$\mathrm{A}$から玉をまず$2$個取り出す．次に，その$2$個の玉を箱$\mathrm{A}$に戻さず，箱$\mathrm{A}$からさらに$2$個の玉を取り出す．このとき，最初に取り出した$2$個の玉がともに白玉で，次に取り出した$2$個の玉の色が同じである確率を求めよ．

(4)　コインを投げて箱を選び，選んだ箱から玉をまず$2$個取り出す．次に，その$2$個の玉を箱に戻さず，同じ箱からさらに$2$個の玉を取り出す．このとき，最初に取り出した$2$個の玉の色が同じで，次に取り出した$2$個の玉の色が異なっている確率を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{x\sqrt{x}}{3}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$に対して曲線$C\text{：}y=f(x)$$\text{（}a\leqq x\leqq a+1\text{）}$を考える．ただし，$a>0$とする．曲線$C$の長さを$L(a)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$L(a)$を求めよ．

(3)　$L(a)$を$a$で微分した導関数$L^{\prime }(a)$を求めよ．

(4)　$L(a)$が最小となる$a$を求めよ．