2022　長野大学(公立)　中期MathJax

2022-11431-0101

2022　長野大学(公立)　中期

易□　並□　難□

【１】　実数 $a$ に対して $2$ 次関数

$y = x^{2} + a x$ $\dots ①$

とする．次の設問に答えなさい．

1.　 $2$ 次関数 $①$ の頂点の座標を $(p, q)$ とする． $p$ と $q$ を $a$ で表しなさい．

2.　 $a = 1$ のとき，実数 $b$ に対して，区間 $b - 2 ≦ x ≦ b$ での $2$ 次関数 $①$ の最大値を $M (b)$ とする． $- 2 ≦ b ≦ 2$ における $M (b)$ の最小値 $M_{L}$ を求めなさい．

3.　 $a = 1$ のとき，実数 $b$ に対して，区間 $b - 2 ≦ x ≦ b$ での $2$ 次関数 $①$ の最小値を $L (b)$ とする． $- 2 ≦ b ≦ 2$ における $L (b)$ の最大値 $L_{M}$ を求めなさい．

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【２】　非公開

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【３】　集合 $S$ を $S = {x | x は自然数 360 の約数}$ とする．集合 $S$ の要素を，重複を許して $2$ つ取り出してかけ合わせた積の集合を $T$ とする．集合 $S$ の要素を，重複を許して $2$ つ取り出して除算を行い，余りが $0$ となるとき（割り切れたとき）の商の集合を $U$ とする．次の設問に答えなさい．

1.　集合 $S ，$ 集合 $T ，$ 集合 $U$ の要素の個数をそれぞれ求めなさい．

2.　集合 $T$ の要素を一つ取り出すとき，偶数である確率を求めなさい．

3.　集合 $U$ の要素を一つ取り出すとき， $3$ の倍数でない確率を求めなさい．

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【４】　ある俳優養成所のオーディションは，春と秋の年 $2$ 回行われる． $2019$ 年度の春のオーディションの応募者数は $x$ 人で，秋のオーディションの応募者数は $y$ 人であった． $2020$ 年度の春のオーディションの応募者数は， $2019$ 年度の春と比較すると $z %$ $（ z > 0 ）$ 減少し， $2020$ 年度の秋のオーディションの応募者数は， $2019$ 年度の秋と比較すると $2 z %$ 増加した．また， $2021$ 年度の春のオーディションの応募者数は， $2019$ 年度の春と比較すると $2 z %$ 減少し， $2021$ 年度の秋のオーディションの応募者数は， $2019$ 年度の秋と比較すると $6 z %$ 増加した． $2021$ 年度の春と秋のオーディションの応募者数の合計は $918$ 人であった．これは， $2019$ 年度の春と秋の応募者数の合計と比較すると $10 %$ 増加した人数よりも $6$ 人少なく， $2020$ 年度の春と秋の応募者数の合計と比較すると $54$ 人増加していた．次の設問に答えなさい．

1.　 $2020$ 年度の春のオーディションの応募者数と $2019$ 年度の春のオーディションの応募者数との差を $- u$ 人 $（ u > 0 ）$ とし， $2020$ 年度の秋のオーディションの応募者数と $2019$ 年度の秋のオーディションの応募者数との差を $v$ 人 $（ v > 0 ）$ とする． $u$ を $x$ と $z$ で， $v$ を $y$ と $z$ で表しなさい．

2.　 $u$ と $v$ をそれぞれ求めなさい．

3.　 $x ，$ $y ，$ $z$ をそれぞれ求めなさい．