2022　長野県立大学　前期MathJax

(1)　線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線を$l$とするとき，直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$との距離が$\sqrt{10}$となるように直線$l$上に点$\mathrm{D}$をとるとき，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{C}$を通る円$O$の方程式を求めよ．

(4)　直線$y=2x+k$が円$O$と共有点をもつように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

補足説明

(2)　直線$l$は，(1)の直線$l$と同じである．

(4)　円$O$は，(3)の円$O$と同じである．

(1)　この試行を$4$回続けて行うとき，白玉がちょうど$1$回出る確率を求めよ．

(2)　この試行を$4$回続けて行うとき，白玉が出る回数が$1$回以下となる確率を求めよ．

(3)　この試行を$5$回続けて行うとき，白玉が少なくとも$1$回出る確率を求めよ．

(4)　この試行を初めて白玉が出るまで続けるとする．このとき，$3$回目に初めて白玉が出る確率を求めよ．

(5)　この試行を初めて白玉が出るまで続けるとする．このとき，$n$回目に初めて白玉が出る確率が${\displaystyle \frac{81}{1024}}$であるならば，この試行回数$n$の値はいくつか．

(1)　$a$を$b$の式で表せ．

(2)　${\log }_{a}b+{\log }_{b}a={\displaystyle \frac{26}{5}}$を満たす$n$を求めよ．

(3)　方程式$a^{x-1}(a^x+b^n)=a^x{b}^{-n}+1$がある．$t=a^x$とするとき，この方程式を$t$の方程式に書き直せ．

(4)　(3)の方程式を満たす実数$x$を$n$で表せ．

補足説明

(3)　方程式$a^{x-1}(a^x+b^n)=a^x{b}^{-n}+1$は$x$の方程式である．

(1)　$Z$の正の約数の個数を求めよ．

(2)　$Z$が偶数のとき，$Z$の正の約数で奇数であるものの個数を求めよ．

(3)　$Z$がとりうる値のうち最小のものを$Z^{*}$とする．$Z^{*}$の正の約数の平均値を求めよ．なお「正の約数の平均値」とは，たとえば「$6$の正の約数の平均値」の場合，$6$の正の約数は$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$6$の$4$個であるから${\displaystyle \frac{1+2+3+6}{4}}=3$となる．

(4)　さらに，$m$を自然数として$T=mZ$となる自然数$T$を考える．$T$の正の約数の個数が奇数個となるような$m$のうち最小のものを$m^{*}$とするとき，$T^{*}=m^{*}{Z}^{*}$を考える．$\sqrt{T^{*}}$の値を求めよ．

補足説明

(4)　$Z^{*}$は(3)で定義された$Z^{*}$と同じである．