2022　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　ある工場で作られた製品が大量に保管されている．その中の$90\mathrm{％}$が良品，$10\mathrm{％}$が不良品であるという．この製品の品質検査では，不良品を不合格とする確率が$94.5\mathrm{％}\text{，}$良品を誤って不合格とする確率が$10.5\mathrm{％}$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　保管されている製品の中から$1$個を取り出して品質検査を$1$回行う．品質検査の結果が不合格である確率を求めよ．

(2)　保管されている製品の中から$1$個を取り出して品質検査を$1$回行う．品質検査の結果が不合格であるとき，その製品が不良品である条件付き確率を求めよ．

(3)　保管されている製品の中から$1$個を取り出して品質検査を$2$回行う．品質検査の結果が$2$回とも不合格であるとき，その製品が不良品である条件付き確率を求めよ．

【２】　$f(x)=4{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}\cos 2x+8{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}\cos x+8{\sin }^{2}x$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$t=\cos x$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(2)　関数$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も求めよ．

(3)　関数$y=af(x)+b(\sin x+2\cos x)$が$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で極値$3$をとるとき，定数$a\text{，}$$b$を求めよ．また，極値$3$が極大値か極小値かを答えよ．

【３】　$n$を自然数，$i$を虚数単位，$x$を実数，複素数$\omega ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}(1+i)$とする．複素数平面上の点${\alpha }_n\text{，}$${\beta }_n$を次のとおりに定める．

${\alpha }_1=i\text{，}$${\alpha }_{n+1}=\omega {\alpha }_n$

${\beta }_1=x+(3x+1)i\text{，}$${\beta }_{n+1}={\displaystyle \frac{{\beta }_n}{2\omega }}$

また，${\gamma }_n={\alpha }_{8n-5}+{\beta }_{8n-5}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\alpha }_{10}$を求めよ．

(2)　$\left|{\gamma }_1\right|\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$を満たす$x$の範囲を求めよ．

(3)　${\gamma }_n=-2(2^{-8n+5}+1)+i$を満たす$x$を求めよ．

【４】　自然対数$\log x$$\text{（}x>0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　実数$k\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$が$k>1\text{，}$$k\log k>\alpha >0\text{，}$$\beta >0$を満たすものとする．このとき，曲線$y=\log x$の点$(k,\log k)$における接線，$2$直線$x=k-\alpha \text{，}$$x=k+\beta \text{，}$および$x$軸に囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)　$k\geqq 2$のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle {\int }_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}}}\log x\mathit{dx}<\log k$

(3)　$n$を$3$以上の整数とするとき，次の不等式を証明せよ．必要ならば，(2)の不等式が成り立つことを用いてもよい．

$(n+{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (n+{\displaystyle \frac{1}{2}})-n-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log {\displaystyle \frac{3}{2}}+1<\log n!$