2022　滋賀県立大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．$m\text{，}$$n$を$0$でない整数とする．$2$つの曲線

$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+ax+b\text{，}$$C_2\text{：}y=m{x}^2+nx+c$

および直線$l\text{：}y=-x$を考える．

(1)　$C_1$が$x=1$で$l$と接するとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(2)　$C_2$が$x=-2$で$l$と接するとする．$mn$が最小となるときの$m\text{，}$$n\text{，}$$c$の値を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$m\text{，}$$n$を(1)，(2)の題意を満たす値とする．$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　$s$を実数とする．$\alpha \text{，}$$\beta$を$\alpha +\beta =s$と${\alpha }^2+{\beta }^2=1$を満たす虚数とする．

(1)　$\alpha \beta$を$s$を用いて表せ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$を解とする$x$の$2$次方程式を$s$を用いて作れ．ただし，$x^2$の係数は$1$とする．

(3)　$s$の値の範囲を求めよ．

(4)　$t$を実数とする．$x$の整式$F(x)=x^3-2s{x}^2+tx+{\displaystyle \frac{1}{2}}{s}^2+{\displaystyle \frac{1}{8}}s$を考える．

(ア)　(2)の題意を満たす$2$次方程式を$G(x)=0$とする．整式$F(x)$を$2$次式$G(x)$で割ったときの商$Q(x)$と余り$R(x)$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(イ)　$x$の方程式$F(x)=0$が$\alpha \text{，}$$\beta$を解にもつとき，$s\text{，}$$t$の値を求めよ．また，このときの$F(x)=0$の解をすべて求めよ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=x-1\text{，}$$\mathrm{BC}=x\text{，}$$\mathrm{CA}=x+1$とする．

(1)　$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$を$x$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}\text{，}$直線$\mathrm{CI}$と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(ア)　$\mathrm{AP}\text{，}$$\mathrm{AQ}$をそれぞれ$x$を用いて表せ．

(イ)　${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}}$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【４】　$2$つの関数$f(x)=\log x\text{，}$$g(x)=x^{\frac{1}{3}}$を考える．ただし，$\log$は自然対数である．なお，必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=0$であることを証明なしで用いてよい．

(1)　関数${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$$\text{（}x>0\text{）}$の増減を調べて，極値とそれを与える$x$の値を求めよ．

(2)　$a$を実数とする．$x$の方程式${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=a$$\text{（}x>0\text{）}$の実数解の個数を求めよ．

(3)　$a>0$とする．$2$つの曲線$C_1\text{：}y=f(x)$$\text{（}x>0\text{），}$$C_2\text{：}y=ag(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$の共有点が$1$個のとき，$C_1\text{，}$$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．