2022　滋賀県立大学　後期MathJax

【１】(1)　不等式${\log }_{\frac{1}{2}}(4-x^2)+3$$\leqq {\log }_{\frac{1}{4}}(x^2-4x+4)$$+{\log }_{2}2x$を解け．

【１】(2)　$k>0$とする．$xy$平面上に，$4$つの点$\mathrm{P}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{R}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{S}$$(0,-1)$がある．大小$2$個のさいころを投げて出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．円：${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=k^2$と正方形$\mathrm{PQRS}$がただ$1$点を共有し，その共有点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$が辺$\mathrm{PQ}$上にあるように$k$の値を定める．

(ア)　$\mathrm{A}$が，$\mathrm{P}$または$\mathrm{Q}$となる確率を求めよ．

(イ)　$k>3$となる確率を求めよ．

【２】　$t$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$2$点$\mathrm{A}$$(0,1,t)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-2,3t)$がある．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面を$S$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が直交するときの$t$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(1,1,t^2)$が$S$上にあるときの$t$の値を求めよ．

(3)　$t=1$とする．直線$\mathrm{OA}$上に動点$\mathrm{Q}$がある．$\left|\overrightarrow{\mathrm{QB}}\right|$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(4)　平面$x=1$上の円$C$を考える．$C$の中心は$(1,0,0)\text{，}$半径は$1$である．$C$と$S$が共有点をもつときの$t$の値の範囲を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=\tan x$$(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{a}{{\cos }^{2}x}}$$(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．

(1)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$C_1$と$C_2$はただ$1$個の共有点をもつ．その共有点の座標とその点における$C_1\text{，}$$C_2$の接線の傾きを求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$が$2$個の共有点をもち，そのうちの$1$つの$x$座標が${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$であるときを考える．

(ア)　$a$の値を求めよ．

(イ)　もう$1$つの共有点の座標を求めよ．

(ウ)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　$a$を正の実数とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(2)\text{，}$$\mathrm{B}(i)\text{，}$$\mathrm{C}(-i)$を通る円を$S$とする．$S$上に点$\mathrm{D}(3a+2ai)$がある．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$S$を表す複素数$z$の方程式を求めよ．

(2)　$a$の値を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{C}$を，$\mathrm{M}$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{D}$を，$\mathrm{N}$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とする．

(ア)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を表す複素数をそれぞれ求めよ．

(イ)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．