2022　京都府立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$5^{\frac{2}{3}}$が無理数であることを証明せよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\sqrt{3}$が無理数であることを用いて，$\sqrt[3]{13}-\sqrt{3}$が無理数であることを証明せよ，

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　自然数$n$が$30$と互いに素であるとき，$n^2$を$12$で割った余りは$1$であることを証明せよ．

【２】　$0<r<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+3(n-1)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$は用いてよい．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}n{r}^n={\displaystyle \frac{r}{{(1-r)}^2}}$が成り立つことを示せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n{r}^{n-1}$を$r$を用いて表せ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,3)$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$\alpha \text{，}$$xy$平面，$yz$平面，$zx$平面のすべてに接する球面は$2$つある．半径が小さい方の球面を$Q_1\text{，}$半径が大きい方の球面を$Q_2$とする．$Q_1\text{，}$$Q_2$の中心をそれぞれ${\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　$Q_1\text{，}$$Q_2$の方程式を求めよ．

(3)　直線${\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2$と$\alpha$との交点の座標を求めよ．

(4)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{O}$を通る球面の方程式を求めよ．

【４】　$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$を

$2xf(x)+7{\displaystyle {\int }_2^x}f(t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_2^x}t{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}$$=5x^3+6{\displaystyle {\int }_1^2}{t}^{3}f(t)\mathit{dt}$

によって定める．曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　関数$g(x)$は$x>0$で微分可能とする．$h(x)=f(x)+g(x)$とし，$g(1)<0\text{，}$$g(2)>0$とする．$1<x<2$の範囲に$h(x)=0$を満たす実数解が少なくとも$1$つ存在することを示せ．

(3)　$C$と$3$直線$y=-15\text{，}$$x=1\text{，}$$x=2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　$m\text{，}$$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$2022!$が$5^m$で割り切れるとき，$m$の最大値を求めよ．

【１】　$m\text{，}$$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(2)　$n^7-n$は$42$の倍数であることを示せ．

【２】　空間において異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を直径の両端とする円を$K$とする，頂点が$\mathrm{P}\text{，}$底面が$K$である直円錐を$C$とする．$\mathrm{\angle APB}$を${\theta }_1$$\text{（}0<{\theta }_1<\pi \text{），}$$C$の展開図における扇形の中心角を${\theta }_2$$\text{（}0<{\theta }_2<2\pi \text{）}$とする．線分$\mathrm{PA}$の長さが$1\text{，}$線分$\mathrm{AB}$の長さが$2$未満のとき，${\theta }_1\ne {\theta }_2$を証明せよ．$\sin x>{\displaystyle \frac{2x}{\pi }}$$(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を用いてよい．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間に，$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,4,0)$がある．半径が$2\text{，}$中心の$z$座標が正である球面を$S_1$とする．$S_1$と$xy$平面の交わる部分が$\mathrm{▵OAB}$の内接円となるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$S_1$の中心座標を求めよ．

(2)　$S_1$上に点$\mathrm{P}$がある．線分$\mathrm{BP}$の中点を点$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$が$S_1$上を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡が球面であることを示し，その球面の中心座標と半径を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$を中心とする半径$2$の球面を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$が交わってできる図形は円となる．その円の中心座標と半径を求めよ．