2022　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　$t$は$0<t<1$を満たす実数とする．平面上の$\mathrm{▵ABC}$に対して，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$をそれぞれ$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の重心と$\mathrm{▵DEF}$の重心は一致することを証明せよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とし，$\mathrm{▵DEF}$の面積を$T$とする．${\displaystyle \frac{T}{S}}$を$t$を用いて表し，${\displaystyle \frac{T}{S}}$の最小値を求めよ．

(3)　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=4$とする．$\mathrm{▵DEF}$が直角三角形になるような$t$の値をすべて求めよ．

【２】　関数$f(x)=x{e}^{-x}$について以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$(m,n)$を$m+n=10$かつ$m\leqq n$を満たす整数の組とする．このような組$(m,n)$に対して$f(m)+f(n)$を考えるとき，$f(m)+f(n)$の値が最大となる組$(m,n)$を求めよ．ただし，必要ならば${\displaystyle \frac{5}{2}}<e<3$であることは用いてよい．

【３】　$n\text{，}$$m$は自然数とする．赤玉と白玉の入った$n$個の箱があり，次の条件(a)，(b)，(c)を満たすとする．

(a)　それぞれの箱には赤玉と白玉が合計$n$個入っている．

(b)　赤玉はどの箱にも$1$個以上入っている．一方，白玉が入っていない箱はあってもよい．

(c)　それぞれの箱に入っている赤玉の個数は互いに異なる．

　以下の試行$\mathrm{T}$を行う．

$\mathrm{T}$：太郎さんは$n$個の箱からひとつの箱を無作為に選び花子さんに渡す．花子さんは渡された箱の中から「無作為に玉をひとつ取り出し，色を確認し同じ箱にもどす作業」を$n+2$回繰り返す．

(1)　試行$\mathrm{T}$において，$1$回目から$m$回目までに取り出した玉がすべて赤玉である事象を$X$とし，その確率を$p_n$とする．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を$m$を用いて表せ．

(2)　試行$\mathrm{T}$において，$m+1$回目と$m+2$回目に取り出した玉のうち，少なくとも$1$個が赤玉である事象を$Y$とする．(1)の事象$X$が起こったときの事象$Y$の起こる条件付き確率$P_X(Y)$を$q_n$とする．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$を$m$を用いて表せ．

【４】　$n$は$3$以上の整数とする．正$n$角形の外接円の半径を正$n$角形の半径とよぶ．

　$2n+2$個の面で囲まれた凸多面体で，次の$2$つの条件(a)，(b)を満たすものを$A_n$とする．

(a)　$2$個の半径$1$の正$n$角形を面にもち，それらは平行である．

(b)　(a)の$2$個の面の他に互いに合同な$2n$個の正三角形を面にもつ．

　例えば，$A_3$は正八面体になる．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$とおく．

(1)　$A_n$の辺の数を$n$を用いて表せ．

(2)　条件(b)の正三角形の高さを$\theta$を用いて表せ．

　条件(a)の$2$つの面の間の距離（一方の面から他方の面へ引いた垂線の長さ）を$H$とする．

(3)　$H$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　$A_n$の体積を$V$とするとき，${\displaystyle \frac{V}{nH}}$を$\theta$を用いて表せ．