2022　大阪公立大学　前期MathJax

【１】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2$

を満たすとする．また，点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$と平行な直線上の点$\mathrm{C}$が

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=5\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}<0$

を満たすとする．直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

問２　$\cos \mathrm{\angle AOC}$を求めよ．

問３　$\mathrm{▵OAC}$の面積を求めよ．

問４　$\mathrm{▵OBD}$の面積を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を定数とし，$a\ne 0$とする．$xy$平面上において，円$x^2+y^2=1$を$C_1$とし，放物線$y=a{x}^2+b$を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

問１　$a=2\text{，}$$b=-1$のとき，$C_2$は$C_1$の内部を$3$つの部分に分ける．このうち原点を含む部分の面積を求めよ．

問２　$a>0\text{，}$$b<-1$とする．このとき，$C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【３】　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_n$をそれぞれ$0$から$9$までの整数とし，$a_n\ne 0$とする．$n$桁の自然数

$a=a_n\cdot {10}^{n-1}+\cdots +a_2\cdot {10}^1+a_1$

に対し，$a_k$を$a$の${10}^{k-1}$の位の数という．また，$n\geqq 5$のとき，

$a_5\cdot {10}^4+a_4\cdot {10}^3$$+a_3\cdot {10}^2$$+a_2\cdot {10}^1+a_1$

を$a$の下$5$桁という．例えば，$7$桁の自然数$1234567$の$100$の位の数は$5$であり，下$5$桁は$34567$である．次の問いに答えよ．

問１　${(1001)}^{15}$の下$5$桁を求めよ．

問２　$7^{80}$の下$5$桁を求めよ．

問３　$2$桁の自然数のうち，$1$の位の数と$10$の位の数の和の$2$乗がその自然数自身に等しいものをすべて求めよ．

問４　$4$桁の自然数のうち，$1$の位の数と$10$の位の数と$100$の位の数と$1000$の位の数の和の$4$乗がその自然数自身に等しいものをすべて求めよ．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{5}{3}}x$

で定める．$a$を正の定数とし，曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線を$l_1\text{，}$点$(a,f(a))$を通り直線$l_1$と垂直な直線を$l_2$とする．次の問いに答えよ．

問１　直線$l_1$の方程式を$a$を用いて表せ．

問２　直線$l_2$の方程式を$a$を用いて表せ．

問３　直線$l_2$と曲線$y=f(x)$が$1$点だけを共有するとき，正の定数$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

【１】　$\log$を自然対数，$e$をその底とする．次の問いに答えよ．

問１　$x\geqq 0$のとき，

$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq \log (1+x)\leqq x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}$

が成り立つことを示せ．

問２　$t\geqq 0$とする．次の極限を$t$を用いて表せ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{nt}{(1+{\displaystyle \frac{t}{n}})}^{-n^2}$

問３　問２で求めた極限を$f(t)$とおく．このとき

${\displaystyle {\int }_0^{100}}f(t)\mathit{dt}<{\displaystyle \frac{e^{5000}}{50}}$

が成り立つことを示せ．

【２】　$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$6$までの目のある$1$個のさいころを$n$回続けて投げるとき，$n$回目で初めて直前の回と同じ目が出る確率を$P_n$で表す．次の問いに答えよ．

問１　$P_n$を$n$を用いて表せ．

問２　$S_n={\displaystyle \sum _{k=2}^n}{P}_k$を$n$を用いて表せ．

問３　$S_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$となる最小の$n$を求めよ．

問４　$E_n={\displaystyle \sum _{k=2}^n}k{P}_k$を$n$を用いて表せ．

【３】　$p\text{，}$$q$を自然数とする．次の問いに答えよ．

問１　$p=7\text{，}$$q=11$のとき，等式$px+qy=1$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組を$1$つ求めよ．

問２　$p=6\text{，}$$q=9$のとき，等式$px+qy=1$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組は存在しないことを示せ．

問３　$i$を虚数単位とする．自然数$n$に対して，集合$X_n$を

$X_n=\left\{{(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}})}^k\right|k\text{は整数}\}$

と定める．また，等式$px+qy=1$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組が存在すると仮定する．このとき，集合$X_{pq}$に属するすべての数は，$X_p$に属する数と$X_q$に属する数の積で表されることを示せ．

問４　集合$X_n$は問３で定めたものとする．複素数

$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{pq}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{pq}}$

が$X_p$に属する数と$X_q$に属する数の積で表されるとき，$p$と$q$は互いに素であることを示せ．

【４】　実数$t$に対して，

$f(t)=2\cos t+\cos 2t\text{，}$$g(t)=2\sin t-\sin 2t$

とおく．$t$を媒介変数として$x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$で表される$xy$平面上の曲線のうち，

$0<t<{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{3}{2}}\pi <t<{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi <t<2\pi$

の部分をそれぞれ${\mathrm{C}}_0\text{，}$$C_1\text{，}$$C_2$とする．また，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$を満たす定数$\alpha$に対して，点$(f(\alpha ),g(\alpha ))$における$C_0$の接線を$L_{\alpha }$とする．次の問いに答えよ．

問１　次の等式を示せ．

$f(t)\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+g(t)\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$$=2\sin (t+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}})-\sin (2t-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}})$

問２　次の等式を示せ．

$(f(t)-f(\alpha ))\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+(g(t)-g(\alpha ))\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$$=4{(\sin {\displaystyle \frac{t-\alpha }{2}})}^2\sin (t+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}})$

問３　接線$L_{\alpha }$の傾きを$\tan \theta$と表す．ただし$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，$\theta$を$\alpha$を用いて表せ．

問４　$L_{\alpha }$と$C_1$ の交点を${\mathrm{P}}_1$とし，$L_{\alpha }$と$C_2$の交点を${\mathrm{P}}_2$とするとき，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さは$\alpha$によらず一定であることを示せ．