2022　大阪公立大学　中期MathJax

$\{\begin{array}{c}{x}_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}\\ n^3{x}_{n+1}={(n+1)}^3{x}_n-c{n}^2{(n+1)}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

ただし，$c$は正の定数である．以下の問いに答えよ．

問１　$y_n={\displaystyle \frac{x_n}{n^3}}$とおく．数列$\{y_n\}$の一般項を求めよ．

問２　問１で定義した$y_n$に対し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$となるような$c$の値を求めよ．

問３　$c$が問２で求めた値をとるとき，次の無限級数の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\sin ({\displaystyle \frac{3}{4}}\pi x_n)$

（問１，問２，問３については計算の過程を記入しなくてよい．）

•$1\text{，}$$2\text{，}$$3$のいずれかの目が出た場合，$\mathrm{Q}$を正の向きに$1$だけ動かす．

•$4$または$5$の目が出た場合，$\mathrm{Q}$を負の向きに$1$だけ動かす．

•$6$の目が出た場合，$\mathrm{Q}$を動かさない．

さいころを繰り返し投げて，$\mathrm{Q}$の座標がはじめて$n$または$-n$になった時点でゲームを終了する．ただし$\mathrm{Q}$は最初に原点の位置にあるとし，$n$は$2$以上の自然数とする．自然数$k$に対して，さいころを$k$回投げた時点でゲームが終了する確率を$P(k)$とおく．以下の問いに答えよ．

問１　$P(n)$を求めよ．

問２　$P(n+1)$を求めよ．

問３　$P(n+2)$を求めよ．

（問１，問１，問３については計算の過程を記入しなくてよい．）

$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(\sin x-t\cos 2nx)}^2\mathit{dx}$

とおく．以下の問いに答えよ．

問１　$I$を$n$と$t$を用いて表せ．

問２　$I$を$t$の関数と考える．$I$が最小になる$t$の値を$n$を用いて表せ．

問３　問２で求めた$t$の値を$t_n$とおく．このとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{t}_n$の和を求めよ．

（問１，問２，問３については計算の過程を記入しなくてよい．）

問１　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

問２　$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

問３　$x>0$に対して，$g(x)={\displaystyle \frac{x{f}^{″}(x)}{f(x)}}$とおく．$g(x)$を求めよ．

問４　問３で求めた関数$g(x)$の極大値とそのときの$x$の値を求めよ．

問５　問３で求めた関数$g(x)$の極小値とそのときの$x$の値を求めよ．

問６　曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を求めよ．

（問1，問2，問3，問4，問5，問6については計算の過程を記入しなくてよい．）

$h(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+(2-a)x+a}{x^2+1}}$

以下の問いに答えよ．

問１　$a>2$のとき，$h(x)$の極小値を$a$を用いて表せ．また，極小値を与える$x$の値を求めよ．

問２　$a<2$のとき，$h(x)$の極小値を$a$を用いて表せ．また，極小値を与える$x$の値を求めよ．

問３　$h(x)$の極小値が$1$より大きくなるような$a$の値の範囲を求めよ．

問４　曲線$y=h(x)$の原点を通る接線の本数を$m$とおく．ただし，$m$は$0$以上の整数である．$a$が問３で求めた範囲にあるとき，$m$の値を求めよ．

問５　問３で求めた範囲にある実数$a$と正の実数$b$が次の等式を満足する．

$\underset{t\to +0}{\lim }{t}^{-b}{\displaystyle {\int }_{-t^a}^{t^a}}|h(x)-a|\mathit{dx}={\displaystyle \frac{b}{3}}$

このとき，$a$と$b$の組$(a,b)$を求めよ．

（問1，問2，問3，問4，問5については計算の過程を記入しなくてよい．）