2022　兵庫県立大学　中期MathJax

$f_1(t)={\displaystyle {\int }_0^c}|x^2—tx|\mathit{dx}\text{，}$

$f_2(t)={\displaystyle {\int }_0^c}{(x^2-tx)}^2\mathit{dx}\text{．}$

ただし，$c$は正の定数とする．以下の問に答えなさい．

(1)　$f_1(t)$の最小値を求めなさい．また，最小値を与える$t$を$t_1$として，$t_1$を$c$を用いて表しなさい．

(2)　$f_2(t)$の最小値を与える$t$を$t_2$とする．$t_1$と$t_2$の大小を比べなさい．

$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$

ここで，$1$個のさいころを投げ，出た目以下の数字のカードすべてを箱$\mathrm{A}$に入れ，残りのカードすべてを箱$\mathrm{B}$に入れた．ここで，箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$からカードを$1$枚ずつ取り出す．以下の問に答えなさい．

(1)　箱$\mathrm{A}$から取り出したカードの数字が$1$である確率を求めなさい．

(2)　箱$\mathrm{A}$から取り出したカードの数字が$1$であるとき，箱$\mathrm{B}$から取り出したカードの数字が$7$である条件付き確率を求めなさい．

(3)　箱$\mathrm{A}$から取り出したカードの数字が$5$であり，かつ箱$\mathrm{B}$から取り出したカードの数字が$7$であるとき，さいころの目が$5$である条件付き確率を求めなさい．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線$l$によりこの平面を$2$つの領域に分ける．このとき点$\mathrm{A}$を含む側の領域（境界線$l$を含む）に属するどの点$\mathrm{P}$に対しても$\mathrm{AP}\leqq \mathrm{BP}$が成り立つことを示しなさい．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=1$を満たしているとする．また$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれの点からも距離が$1$以下になるこの平面上の点全体の集合を$S$とする．このとき，$S$に属するどの$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$に対しても$\mathrm{PQ}\leqq 1$が成り立つことを示しなさい．

(1)　${\alpha }_1\text{，}$${\alpha }_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\alpha }_n$を$n$個の正の実数とする$\text{（}n\geqq 1\text{）．}$このとき，${\alpha }_1\text{，}$${\alpha }_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\alpha }_n$で表される定数$C_1$が存在して次の条件${\mathrm{P}}_1$を満たすことを示しなさい．

[${\mathrm{P}}_1$]　$x>1$を満たすすべての実数$x$について，${\displaystyle \sum _{i-1}^n}{\alpha }_i{x}^i\leqq C_1{x}^n$が成立する．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$を正の実数とする．このとき，$\alpha \text{，}$$\beta$で表される定数$C_2$が存在して次の条件${\mathrm{P}}_2$を満たすことを示しなさい．

[${\mathrm{P}}_2$]　$x>1$を満たすすべての実数$x$について，${(\log x)}^{\alpha }\leqq C_2{x}^{\beta }$が成立する．

(1)　$\mathrm{BC}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OBC}$の面積を求めよ．

$f(x)={\left({\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin 2x}}\right)}^2$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$\cos x$で表せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(1)　点$(x,y)$が曲線$C$上を動くとき，${\displaystyle \frac{y}{x}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$C$の接線が原点を通るとき，接点の座標を求めよ．

(1)　$r_k={\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}}$とする．$r_k$を求めよ．

(2)　確率$p_k$を値が大きい順に並べるとき，$2$番目となる$k$を求めよ．