2022　兵庫県立大学　後期国際商経学部MathJax

2022-11613-0501

2022　兵庫県立大学　後期国際商経学部

【１】で配点率40％

易□　並□　難□

【１】　以下のⅠ，Ⅱに答えなさい．

$1$
$3$	$5$	$7$
$9$	$11$	$13$	$15$	$17$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$

図

Ⅰ.　すべての奇数 $1 ，$ $3 ，$ $5 ， \dots$ が図のように並べられている．すなわち上から $i$ 段目 $（ i$ 行目）には左から小さい順に $2 i - 1$ 個の奇数が並んでいる．上から $i$ 段目，左から $j$ 列目にある奇数を $a (i, j)$ とする．例えば $a (3, 4) = 15$ である．以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　 $a (5, 4)$ を求めなさい．

(ⅱ)　 $i > 1$ に対して， $a (i, j)$ を $i ，$ $j$ を用いた式で表しなさい．

2022-11613-0502

2022　兵庫県立大学　後期国際商経学部

【１】で配点率40％

易□　並□　難□

【１】　以下のⅠ，Ⅱに答えなさい．

Ⅱ.　箱 $A$ には赤玉 $10$ 個，白玉 $5$ 個，箱 $B$ には赤玉 $3$ 個，白玉 $12$ 個が入っている．ここで， $1$ 個のさいころを投げ，出た目が $5$ 以上であれば箱 $A$ を，それ以外の場合は箱 $B$ を選び，選んだ箱から $2$ 個の玉を同時に取り出す．以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　取り出した玉が $2$ 個とも白玉であった．このとき，箱 $A$ が選ばれていた確率 $P_{1}$ を求めなさい．

(ⅱ)　取り出した玉が $2$ 個とも赤玉の場合はその赤玉 $2$ 個を箱 $A$ に入れ，それ以外の場合は取り出した玉 $2$ 個を箱 $B$ に入れる．このとき箱 $A$ に元通り赤玉 $10$ 個，白玉 $5$ 個が入っている確率 $P_{2}$ を求めなさい．

2022-11613-0503

2022　兵庫県立大学　後期国際商経学部

配点率30％

易□　並□　難□

【２】　傾きがそれぞれ $a ，$ $b$ $（ a \neq b ）$ の $2$ 直線 $y = l_{1} (x) ，$ $y = l_{2} (x)$ の両方に接する放物線 $C ： y = f (x) = p x^{2} + q x + r$ $（ p \neq 0 ）$ を考える． $l_{1}$ と $C$ の接点を $(α, f (α)) ，$ $l_{2}$ と $C$ の接点を $(β, f (β))$ とする．以下の問に答えなさい．

(1)　 $l_{1}$ と $l_{2}$ の交点の $x$ 座標を $u$ とする． $α + β$ を $u$ の式として表しなさい．また $α - β$ を $a ，$ $b ，$ $p$ の式として表しなさい．

(2)　関数 $f (x) - l_{1} (x)$ を $α$ と $p$ を用いて表しなさい．

(3)　 $l_{1} (x) = x ，$ $l_{2} (x) = - 2 x + 3$ のとき， $f (x)$ を $p$ を用いて表しなさい．また，実数 $p$ が変化するとき，放物線 $C ： y = f (x)$ の頂点の軌跡を求めなさい．

2022-11613-0504

2022　兵庫県立大学　後期国際商経学部

配点率30％

易□　並□　難□

【３】　座標平面において $3$ 点 $P ，$ $Q ，$ $R$ は正三角形の頂点となっている． $P ，$ $Q$ を通る直線 $L_{1}$ とし， $P ，$ $R$ を通る直線を $L_{2} ，$ そして $Q ，$ $R$ を通る直線を $L_{3}$ とする． $L_{1} ，$ $L_{2} ，$ $L_{3}$ はそれぞれ

$L_{1} ： 3 x + 4 y - 19 = 0$

$L_{2} ： a x + y - (1 + 5 a) = 0$

$L_{3} ： b x + y - (4 + b) = 0$

と表されている．ただし， $a ，$ $b$ は実数とする．以下の問に答えなさい．

(1)　 $P$ および $Q$ の座標をそれぞれ求めなさい．

(2)　線分 $PQ$ の垂直二等分線の方程式を求めなさい．

(3)　 $R$ の座標を求めなさい．

(4)　 $a < 0 ，$ $b < 0$ であることを示しなさい．