2022　奈良県立医科大学　前期医学科MathJax

【１】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　等差数列$\{a_n\}$について，条件

$a_1>0\text{，}$$a_1{a}_2=3\text{，}$${\displaystyle \frac{a_3}{a_4}}=2$

が成立するとき，$a_1=\text{ア}\text{，}$$a_2=\text{イ}$である．さらに，数列$\{b_n\}$を$b_n=3^{a_n}$と定義すると，$b_5=\text{ウ}$である．また，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$の極限は$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\text{エ}$となる．

【２】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$i$を虚数単位とし，複素数平面上で複素数$z=5+3i$に対応する点を$\mathrm{P}$とおく．

(1)　実数を係数とし$z$を解にもつ$2$次方程式のうち，定数項が$1$であるものは

$\text{ア}{x}^2-\text{イ}x+1=0\text{．}$

(2)　複素数平面の原点を中心に，$\mathrm{P}$を反時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$に対応する複素数を$w$とすると，$w=\text{ウ}+\text{エ}i$（ウ，エは実数）であり，点$\mathrm{Q}$は複素数平面の第$\text{オ}$象限にある．

(3)　(2)で求めた複素数$w$の偏角を$\theta$とする．複素数$u=\cos \phi +i\sin \phi$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\phi <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を考えると，$wu$の偏角は$\text{カ}+2k\pi$$\text{（}k$は整数）である．また，$wu$の虚部が$0$以上となるような$u$に対して，$\tan \phi$がとり得る最大値は$\text{キ}$である．

【３】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　方程式$x^6-5x^5+2x^4$$+13x^3$$-4x^2$$-7x=0$は相異なる$6$つの実数解を持つ．そのうち整数解は$2$つであり，$\text{ア}$と$\text{イ}$である．整数解を${\alpha }_1\text{，}$${\alpha }_2\text{，}$その他の解を${\alpha }_3\text{，}$${\alpha }_4\text{，}$${\alpha }_5\text{，}$${\alpha }_6$とする．このとき，この方程式は$(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)\cdots (x-{\alpha }_6)=0$と書けることに注意すると，${\alpha }_3+{\alpha }_4+{\alpha }_5+{\alpha }_6=\text{ウ}\text{，}$${\alpha }_3{\alpha }_4{\alpha }_5{\alpha }_6=\text{エ}\text{，}$${{\alpha }_3}^2+{{\alpha }_4}^2+{{\alpha }_5}^2+{{\alpha }_6}^2=\text{オ}$である．

【４】　以下の問に答えよ．ただし，答のみ記入すればよい．

　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$の位置に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$1$秒経過するごとに右・左・上のいずれかに$1$だけ移動する．いずれの方向も，移動する確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$とし，$t$秒後に$\mathrm{P}$のいる位置を${\mathrm{P}}_t$と表すことにする．

(1)　${\mathrm{P}}_3$となり得る点は$10$個存在する．それらのうち，$x$座標の値が正のものをすべて求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を$3$秒間観察したとき，$\mathrm{O}$と${\mathrm{P}}_3$の距離が$2$以下となる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$を$36$秒間観察したところ，${\mathrm{P}}_{36}$は座標軸上になく，$\mathrm{O}$と${\mathrm{P}}_{36}$の距離は$6\sqrt{13}$で，${\mathrm{P}}_{36}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$に対し，三角形$\mathrm{OQ}{\mathrm{P}}_{36}$の面積は$108$であった．${\mathrm{P}}_{36}$の座標として考えられるものを$4$つすべて求めよ．

(4)　(3)において，$\mathrm{P}$が$36$秒間に右に進んだ回数の合計として考えられる値をすべて求めよ．

【５】　関数$f(x)$が$f(-x)=-f(x)$をみたすとき，奇関数であるという．関数$f(x)$は実数全体で定義された連続な奇関数であり，$x>0$のとき$f(x)>0$とする．以下の問に答えよ．

(1)　定積分

$I={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{(x+a)}^{2}f(x)\mathit{dx}$

を考える．ただし，$a$は実数の定数である．このとき，$a=0$と$I=0$は同値であることを示せ．

(2)　定積分

$J={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\displaystyle \frac{f(x)}{{(x+b)}^2+1}}\mathit{dx}$

を考える．ただし，$b$は実数の定数である．このとき，$J=0$ならば$b=0$であることを示せ．