2022　奈良県立医科大学　推薦医学科MathJax

【１】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さはともに$l$で$\mathrm{\angle BAC}$を$\theta$とする．

(1)　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$\text{ア}$である．

(2)　$l$を固定して$\theta$を動かすとき，$S$が最大になるのは，$\theta =\text{イ}$のときである．

(3)　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を辺$\mathrm{BC}$を軸として$1$回転させてできる立体の体積$V$は$\text{ウ}$である．

(4)　$l$を固定して$\theta$を動かすとき，$V$が最大になるのは，$\sin \theta =\text{エ}$のときである．

【２】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$n$は$0$以上の整数とし，$t$は実数のパラメータで$0$ではないとする．$t$の整式$a_n(t)\text{，}$$b_n(t)$を

${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{-tx}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{a_n(t)+b_n(t)e^{-t}}{t^{n+1}}}$

で定める．このとき，$a_0(t)=\text{ア}\text{，}$$b_0(t)=\text{イ}$であり，$a_1(t)=\text{ウ}\text{，}$$b_1(t)=\text{エ}$である．一般に，$0$以上の整数$n$に対して$a_n(t)=\text{オ}$であり，$k$を$0\leqq k\leqq n$を満たす整数とすると，整式$b_n(t)$の$t^k$の係数は$\text{カ}$である．

【３】　以下の空欄を適切な数，式，または語句で埋めて文章を完成させよ．

　関数$f(x)=x+\sqrt{x^2+a}$を考える．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)　$f(x)$は実数全体で定義された正の値をとる連続関数であり，

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\text{ア}\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }(2x-f(x))=\text{イ}$

が成り立つ．$f(x)$は微分可能であり，導関数は

${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)=\text{ウ}$

となる．ここで，${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)$はすべての$x$に対して$\text{エ}$の値をとるので，$f(x)$は単調$\text{オ}$関数となる．したがって，$t=f(x)$の逆関数が存在し，$x$は$t$の関数として

$x=\text{カ}$

と表される．

(2)　$f(x)>0$であるので$\log f(x)$が定義でき，微分可能である．その導関数を計算すると

${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\log f(x)={\displaystyle \frac{1}{\text{キ}}}$

となる．さらに不定積分は

となる．

【４】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$xyz$空間に$4$点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,0,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,3,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,0,3)$がある．点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AB}$上を一定の速度で動き，時刻$0$に点$\mathrm{A}\text{，}$時刻$1$に点$\mathrm{B}$を通過する．また，点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{CD}$上を一定の速度で動き，時刻$0$に点$\mathrm{C}\text{，}$時刻$1$に点$\mathrm{D}$を通過する．このとき，時刻$t$での点$\mathrm{P}$の座標は$\text{ア}$であり，点$\mathrm{Q}$の座標は$\text{イ}$である．また，時刻$t$での点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$間の距離は$\text{ウ}$であり，$t=\text{エ}$のとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は最も近づき，その距離は$\text{オ}$である．

【５】　$2$以上の整数$n$に対し，集合$S(n)$を

$S(n)=\left\{{\displaystyle \frac{x}{y}}\right|x\text{と}y\text{は}n\text{以下の正の}$$\text{整数で，最大公約数が}1\}$

で定義する．

(1)　$S(2)\text{，}$$S(3)\text{，}$$S(4)$の要素の個数を求めよ．

(2)　$S(n)$の要素の個数が奇数であることを示せ．

　集合$T(n)$を$T(n)=\{|a-b||a\in S(n)\text{，}$$b\in S(n)$$\text{かつ}a\ne b\}$で定義する．

(3)　$T(n)$の要素の中で最小のものを求めよ．