2022　和歌山県立医科大学　前期MathJax

(1)　$n(n-1)$が$4$の倍数ならば，$\text{「}n$が$4$の倍数である」か，あるいは$\text{「}n-1$が$4$の倍数である」かのいずれかであることを示せ．

(2)　$n$が$2$桁の自然数であるとする．$n(n-1)$が$100$の倍数ならば，$\text{「}n$が$4$の倍数で，$n-1$が$25$の倍数である」か，あるいは$\text{「}n$が$25$の倍数で，$n-1$が$4$の倍数である」かのいずれかであることを示せ．

(3)　$n$が$4$桁の自然数であるとする．$n^2$の下$4$桁が$n$と一致するような$n$を求めよ．

(1)　$\alpha =a+bi$$\text{（}a\text{，}$$b$は実数）と表すとき，$z^2=\alpha$をみたす複素数$z=x+yi$$\text{（}x\text{，}$$y$は実数）について，$x^2$と$y^2$をそれぞれ$a$と$b$を用いて表せ．さらに$\alpha =-\sqrt{2}-\sqrt{2}i$のときの$z$を求めよ．

(2)　$\alpha =r(\cos \theta +i\sin \theta )$と極形式で表すとき，$z^2=\alpha$をみたす$2$つの複素数を$r$と$\theta$を用いて表せ，また，$\alpha$が正の実数でもないとき，$z^2=\alpha$をみたす$2$つの複素数と$\alpha$の$3$点を頂点とする三角形の面積$S$を$r$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　(1)を参考にして，関数$g(x)={|x^2-x|}^3$のグラフの概形をかけ．

(2)　等式

$\sin 2x\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{6}}-x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos x$$=\cos x\sin (2x-\alpha )$

が$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で成り立つような$\alpha$を求めよ．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　関数

$f(x)=\sin 2x\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{6}}-x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

について，$f(\beta )=0$$(0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$をみたす$\beta$を求め，${\displaystyle {\int }_0^{\beta }}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．